Номер 24, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 24, страница 58.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной

1. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 7x - 3 \ge 2(x - 6), \\ x + 5 \ge 3x - 11; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,2(x - 4) \le 0,3x + 2, \\ 3(x + 1) > x + 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{3x + 5}{4} < \frac{x + 1}{2} + 1, \\ \frac{x - 4}{2} > \frac{2 - x}{3} - 1. \end{cases} $

2. Решите совокупность неравенств:

1) $ \begin{cases} 1 \le x \le 9, \\ x < 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x \le 9, \\ x > 1. \end{cases} $

3. Сколько целых решений имеет неравенство

$ -5 \le 3x - 2 \le -2? $

4. Решите систему неравенств

$ \begin{cases} -4 < x < 5, \\ x \ge 2, \\ x > 7. \end{cases} $

5. Решите неравенство:

1) $ (x - 3)^2(x - 5) \ge 0; $

2) $ |x - 3|(x - 5) < 0. $

6. При каких значениях параметра a множество решений системы неравенств

$ \begin{cases} 4x - a \ge 0, \\ 2x - 7 < 0 \end{cases} $

содержит пять целых чисел?

Решение.

1) Решим систему неравенств $\begin{cases} 7x - 3 \ge 2(x - 6) \\ x + 5 \ge 3x - 11 \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $7x - 3 \ge 2x - 12 \implies 5x \ge -9 \implies x \ge -1.8$.
2) $x + 5 \ge 3x - 11 \implies 16 \ge 2x \implies 8 \ge x$, или $x \le 8$.
Решением системы является пересечение этих множеств, то есть все $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge -1.8$ и $x \le 8$.
Ответ: $x \in [-1.8, 8]$.

2) Решим систему неравенств $\begin{cases} 0.2(x - 4) \le 0.3x + 2 \\ 3(x + 1) > x + 5 \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $0.2x - 0.8 \le 0.3x + 2 \implies -2.8 \le 0.1x \implies -28 \le x$.
2) $3x + 3 > x + 5 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.
Пересечением решений $x \ge -28$ и $x > 1$ является множество $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

3) Решим систему неравенств $\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} < \frac{x + 1}{2} + 1 \\ \frac{x - 4}{2} > \frac{2 - x}{3} - 1 \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности, умножив на общий знаменатель:
1) $\frac{3x + 5}{4} < \frac{x + 1}{2} + 1 \implies 3x + 5 < 2(x + 1) + 4 \implies 3x + 5 < 2x + 6 \implies x < 1$.
2) $\frac{x - 4}{2} > \frac{2 - x}{3} - 1 \implies 3(x - 4) > 2(2 - x) - 6 \implies 3x - 12 > 4 - 2x - 6 \implies 5x > 10 \implies x > 2$.
Система требует одновременного выполнения условий $x < 1$ и $x > 2$. Таких значений $x$ не существует.
Ответ: решений нет.

1) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} 1 \le x \le 9 \\ x < 1 \end{bmatrix}$.
Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства.
Первое условие задает отрезок $[1, 9]$.
Второе условие задает открытый луч $(-\infty, 1)$.
Объединение этих множеств $(-\infty, 1) \cup [1, 9]$ дает луч $(-\infty, 9]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 9]$.

2) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} x \le 9 \\ x > 1 \end{bmatrix}$.
Первое условие задает луч $(-\infty, 9]$.
Второе условие задает открытый луч $(1, +\infty)$.
Объединение этих двух лучей $(-\infty, 9] \cup (1, +\infty)$ покрывает всю числовую прямую.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Найдем количество целых решений неравенства $-5 \le 3x - 2 \le -2$.
Это двойное неравенство. Решим его относительно $x$.
Прибавим 2 ко всем частям: $-5 + 2 \le 3x \le -2 + 2 \implies -3 \le 3x \le 0$.
Разделим все части на 3: $-1 \le x \le 0$.
В полученный отрезок $[-1, 0]$ входят два целых числа: -1 и 0.
Ответ: 2.

4. Решим систему неравенств $\begin{cases} -4 < x < 5 \\ x \ge 2 \\ x > 7 \end{cases}$.
Найдем пересечение множеств решений: $(-4, 5)$, $[2, +\infty)$ и $(7, +\infty)$.
Пересечение первых двух множеств: $(-4, 5) \cap [2, +\infty) = [2, 5)$.
Теперь найдем пересечение полученного результата с третьим множеством: $[2, 5) \cap (7, +\infty)$.
Поскольку эти интервалы не пересекаются, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

1) Решим неравенство $(x - 3)^2(x - 5) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=3$ и положителен при $x \ne 3$.
1. При $x=3$ неравенство превращается в $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=3$ — одно из решений.
2. При $x \ne 3$, множитель $(x - 3)^2$ положителен, и неравенство равносильно $x - 5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.
Объединяя оба случая, получаем итоговое решение.
Ответ: $\{3\} \cup [5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x - 3|(x - 5) < 0$.
Множитель $|x - 3|$ всегда неотрицателен. Для того чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были не равны нулю, а также чтобы они имели разные знаки.
Поскольку $|x - 3| > 0$ при всех $x \ne 3$, неравенство выполняется, если одновременно выполняются два условия: $x \ne 3$ и $x - 5 < 0$.
Из $x - 5 < 0$ следует $x < 5$.
Таким образом, решение - это все числа, которые меньше 5, за исключением числа 3.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, 5)$.

6. Найдем значения параметра $a$, при которых множество решений системы $\begin{cases} 4x - a \ge 0 \\ 2x - 7 < 0 \end{cases}$ содержит пять целых чисел.
Сначала решим систему относительно $x$:
$\begin{cases} 4x \ge a \\ 2x < 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a/4 \\ x < 3.5 \end{cases}$.
Решением системы является полуинтервал $[\frac{a}{4}, 3.5)$.
Этот полуинтервал должен содержать ровно пять целых чисел. Поскольку $x < 3.5$, наибольшее возможное целое решение — это 3. Пять целых чисел, входящих в решение, должны быть: 3, 2, 1, 0, -1.
Чтобы это условие выполнялось, левая граница интервала $\frac{a}{4}$ должна быть меньше или равна самому маленькому из этих чисел (-1) и в то же время строго больше предыдущего целого числа (-2).
Получаем двойное неравенство для $\frac{a}{4}$: $-2 < \frac{a}{4} \le -1$.
Умножим все части на 4, чтобы найти $a$: $-8 < a \le -4$.
Ответ: $a \in (-8, -4]$.