Номер 27, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 27, страница 59.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

1. Найдите значение выражения:

1) $3\sqrt{0,81} - \sqrt{9^2 + 12^2}$;

2) $98 \cdot \left(-\frac{1}{7}\sqrt{15}\right)^2 - \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2$.

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 2 = 0$;

2) $\sqrt{10x - 9} = 0$;

3) $\frac{30}{\sqrt{x} - 7} = 6$;

4) $(x - 5)^2 = 3$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x + 5} + \sqrt{2 - x}$;

2) $y = \sqrt{|x| - 5} + \frac{1}{\sqrt{x - 4}}$.

4. Постройте график функции:

$y = (\sqrt{x + 3})^2 - 3$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x(x - 6)} < 0$;

2) $\sqrt{x(x - 6)} \ge 0$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - 5)(\sqrt{x} - a) = 0$ имеет два корня?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) $3\sqrt{0,81} - \sqrt{9^2 + 12^2}$

Выполним вычисления по частям:
$3\sqrt{0,81} = 3 \cdot 0,9 = 2,7$
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$
Теперь найдем разность:
$2,7 - 15 = -12,3$
Ответ: -12,3.

2) $98 \cdot (-\frac{1}{7}\sqrt{15})^2 - \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2$

Вычислим каждое слагаемое отдельно:
$98 \cdot (-\frac{1}{7}\sqrt{15})^2 = 98 \cdot (\frac{1}{49} \cdot 15) = \frac{98 \cdot 15}{49} = 2 \cdot 15 = 30$
$\frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2 = \frac{1}{8} \cdot (4 \cdot 6) = \frac{1}{8} \cdot 24 = 3$
Теперь найдем разность:
$30 - 3 = 27$
Ответ: 27.

---

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 2 = 0$

Перенесем 2 в правую часть:
$\frac{1}{4}\sqrt{x} = -2$
Умножим обе части на 4:
$\sqrt{x} = -8$
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

2) $\sqrt{10x - 9} = 0$

Квадратный корень равен нулю, только если подкоренное выражение равно нулю:
$10x - 9 = 0$
$10x = 9$
$x = 0,9$
Ответ: 0,9.

3) $\frac{30}{\sqrt{x-7}} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-7 > 0$, то есть $x > 7$.
Выразим $\sqrt{x-7}$:
$\sqrt{x-7} = \frac{30}{6}$
$\sqrt{x-7} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x-7 = 25$
$x = 25 + 7$
$x = 32$
Корень $x=32$ удовлетворяет ОДЗ ($32>7$).
Ответ: 32.

4) $(x - 5)^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x-5 = \sqrt{3}$ или $x-5 = -\sqrt{3}$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 5 + \sqrt{3}$
$x_2 = 5 - \sqrt{3}$
Ответ: $5 + \sqrt{3}; 5 - \sqrt{3}$.

---

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x+5} + \sqrt{2-x}$

Область определения функции — это все значения $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$
Решим ее:
$\begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 2 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является отрезок $[-5; 2]$.
Ответ: $x \in [-5; 2]$.

2) $y = \sqrt{|x|-5} + \frac{1}{\sqrt{x-4}}$

Область определения функции задается системой неравенств:
1. Подкоренное выражение первого слагаемого должно быть неотрицательным: $|x|-5 \ge 0$.
2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x-4 > 0$.
$\begin{cases} |x|-5 \ge 0 \\ x-4 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $|x| \ge 5$, что эквивалентно $x \ge 5$ или $x \le -5$.
Решим второе неравенство: $x > 4$.
Теперь найдем пересечение решений: $(x \ge 5 \text{ или } x \le -5)$ и $(x > 4)$.
Общим решением будет $x \ge 5$.
Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

---

4. Постройте график функции $y = (\sqrt{x+3})^2 - 3$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$.
2. Упростим формулу функции на ее области определения. Так как $x+3 \ge 0$, то $(\sqrt{x+3})^2 = x+3$.
$y = (x+3) - 3 = x$.
Таким образом, функция имеет вид $y=x$ при условии $x \ge -3$.
3. Графиком функции является часть прямой $y=x$, а именно луч, который начинается в точке, где $x=-3$. Найдем координату $y$ для этой точки: $y=-3$.
График функции — это луч, выходящий из точки $(-3; -3)$ и проходящий через точки $(0;0), (1;1)$ и т.д. вправо вверх под углом 45° к оси Ox.

---

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x}(x-6) < 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Множитель $\sqrt{x}$ неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $\sqrt{x} > 0$ и $x-6 < 0$.
$\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
$x-6 < 0 \Rightarrow x < 6$
Объединяя условия $x \ge 0$, $x > 0$ и $x < 6$, получаем $0 < x < 6$.
Ответ: $x \in (0; 6)$.

2) $\sqrt{x}(x-6) \ge 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$.
$x-6=0 \Rightarrow x=6$.
Произведение больше нуля, если оба множителя положительны (так как $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным):
$\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$.
$x-6 > 0 \Rightarrow x > 6$.
Система $\begin{cases} x > 0 \\ x > 6 \end{cases}$ дает решение $x > 6$.
Объединяя все найденные решения ($x=0, x=6, x>6$), получаем $x=0$ и $x \ge 6$.
Ответ: $x \in \{0\} \cup [6; +\infty)$.

---

6. При каких значениях параметра a уравнение $(x-5)(\sqrt{x}-a)=0$ имеет два корня?

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $x-5=0 \Rightarrow x_1=5$. Этот корень всегда существует и удовлетворяет ОДЗ.
2) $\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a$.
Это уравнение дает второй корень. Оно имеет решение только при $a \ge 0$. Если $a < 0$, решений нет, и исходное уравнение имеет только один корень $x_1=5$.
Если $a \ge 0$, то $x_2=a^2$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ.
Чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы второй корень существовал и не совпадал с первым.
Условие существования второго корня: $a \ge 0$.
Условие различия корней: $x_1 \ne x_2 \Rightarrow 5 \ne a^2 \Rightarrow a \ne \pm\sqrt{5}$.
Объединяем оба условия: $a \ge 0$ и $a \ne \sqrt{5}$ (условие $a \ne -\sqrt{5}$ выполняется автоматически при $a \ge 0$).
Следовательно, параметр $a$ может принимать любые неотрицательные значения, кроме $\sqrt{5}$.
Ответ: $a \in [0; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.