Номер 31, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 31, страница 61.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{13y^2}$, если $y \le 0$;

2) $\sqrt{-c^{15}};$

3) $\sqrt{m^{16}n^3}$, если $m \neq 0$;

4) $\sqrt{700m^{18}n^{19}}$, если $m < 0$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $c\sqrt{15}$;

2) $x^7\sqrt{-x}$;

3) $(b - 4)\sqrt{\frac{1}{20 - 5b}}$.

3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab} + b} - \frac{\sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}};$

2) $\left(\frac{\sqrt{m} - 2}{\sqrt{m} + 2} + \frac{8\sqrt{m}}{m - 4}\right) : \frac{\sqrt{m} + 2}{m - 2\sqrt{m}}$.

4. Известно, что $\sqrt{7 - c} + \sqrt{c - 2} = 3$. Найдите значение выражения $\sqrt{(7 - c)(c - 2)}$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{19 + 8\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{a + 12\sqrt{a} - 36}$.

Решение.

1) $\sqrt{13y^2}$, если $y \le 0$

Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$. Таким образом, $\sqrt{13y^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{y^2} = \sqrt{13} \cdot |y|$.

По условию $y \le 0$. По определению модуля, если число неположительное, его модуль равен противоположному ему числу, то есть $|y| = -y$.

Подставляем это в выражение: $\sqrt{13} \cdot (-y) = -y\sqrt{13}$.

Ответ: $-y\sqrt{13}$.

2) $\sqrt{-c^{15}}$

Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-c^{15} \ge 0$, что эквивалентно $c^{15} \le 0$, а значит $c \le 0$.

Представим $c^{15}$ как $c^{14} \cdot c$: $\sqrt{-c^{15}} = \sqrt{-c \cdot c^{14}} = \sqrt{-c \cdot (c^7)^2}$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{(c^7)^2} \cdot \sqrt{-c} = |c^7|\sqrt{-c}$.

Поскольку $c \le 0$, то и $c^7 \le 0$. Следовательно, $|c^7| = -c^7$.

Итоговое выражение: $-c^7\sqrt{-c}$.

Ответ: $-c^7\sqrt{-c}$.

3) $\sqrt{m^{16}n^3}$, если $m \ne 0$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $m^{16}n^3 \ge 0$. Так как $m^{16} = (m^8)^2 \ge 0$ (и строго больше нуля, так как $m \ne 0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $n^3 \ge 0$, то есть $n \ge 0$.

Преобразуем выражение: $\sqrt{m^{16}n^3} = \sqrt{m^{16} \cdot n^2 \cdot n} = \sqrt{(m^8)^2 \cdot n^2 \cdot n}$.

Выносим множители: $\sqrt{(m^8)^2} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{n} = |m^8| \cdot |n| \cdot \sqrt{n}$.

Так как $m^8$ всегда неотрицательно, $|m^8|=m^8$. Так как $n \ge 0$, $|n|=n$.

Получаем: $m^8n\sqrt{n}$.

Ответ: $m^8n\sqrt{n}$.

4) $\sqrt{700m^{18}n^{19}}$, если $m < 0$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $700m^{18}n^{19} \ge 0$. Так как $m^{18} = (m^9)^2 \ge 0$, то $n^{19} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.

Преобразуем выражение: $\sqrt{700m^{18}n^{19}} = \sqrt{100 \cdot 7 \cdot m^{18} \cdot n^{18} \cdot n} = \sqrt{10^2 \cdot (m^9)^2 \cdot (n^9)^2 \cdot 7n}$.

Выносим множители: $10 \cdot |m^9| \cdot |n^9| \cdot \sqrt{7n}$.

По условию $m < 0$, значит $m^9 < 0$ и $|m^9| = -m^9$.

Мы выяснили, что $n \ge 0$, значит $n^9 \ge 0$ и $|n^9| = n^9$.

Подставляем в выражение: $10 \cdot (-m^9) \cdot n^9 \cdot \sqrt{7n} = -10m^9n^9\sqrt{7n}$.

Ответ: $-10m^9n^9\sqrt{7n}$.

1) $c\sqrt{15}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $c$.

Если $c \ge 0$, то $c = \sqrt{c^2}$. Тогда $c\sqrt{15} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{15c^2}$.

Если $c < 0$, то $c = -\sqrt{c^2}$. Тогда $c\sqrt{15} = -\sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = -\sqrt{15c^2}$.

Ответ: $\sqrt{15c^2}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{15c^2}$ при $c < 0$.

2) $x^7\sqrt{-x}$

Выражение определено при $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Если $x=0$, выражение равно 0.

Если $x < 0$, то $x^7 < 0$. Чтобы внести отрицательный множитель $x^7$ под знак корня, представим его в виде $x^7 = -(-x^7)$, где $-x^7 > 0$.

$x^7\sqrt{-x} = -(-x^7)\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x^7)^2}\sqrt{-x} = -\sqrt{x^{14}(-x)} = -\sqrt{-x^{15}}$.

Ответ: $-\sqrt{-x^{15}}$.

3) $(b-4)\sqrt{\frac{1}{20-5b}}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю: $\frac{1}{20-5b} > 0$. Это выполняется, если $20-5b > 0$, откуда $5b < 20$, то есть $b < 4$.

При $b < 4$ множитель $(b-4)$ является отрицательным. Чтобы внести его под корень, представим его как $b-4 = -(4-b)$, где $(4-b) > 0$.

$(b-4)\sqrt{\frac{1}{20-5b}} = -(4-b)\sqrt{\frac{1}{5(4-b)}} = -\sqrt{(4-b)^2 \cdot \frac{1}{5(4-b)}}$.

Сокращаем дробь под корнем на $(4-b)$, так как $b \ne 4$: $-\sqrt{\frac{4-b}{5}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{4-b}{5}}$.

1) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}+b} - \frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}$

Область определения: $a>0, b>0$. Разложим знаменатели на множители:

$\sqrt{ab}+b = \sqrt{b}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

$a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Сократим дробь на $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$.

2) $\left(\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}+2} + \frac{8\sqrt{m}}{m-4}\right) : \frac{\sqrt{m}+2}{m-2\sqrt{m}}$

Область определения: $m>0, m \ne 4$.

1. Упростим выражение в скобках. Заметим, что $m-4 = (\sqrt{m}-2)(\sqrt{m}+2)$.

$\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}+2} + \frac{8\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-2)(\sqrt{m}+2)} = \frac{(\sqrt{m}-2)^2 + 8\sqrt{m}}{m-4} = \frac{m-4\sqrt{m}+4+8\sqrt{m}}{m-4} = \frac{m+4\sqrt{m}+4}{m-4}$.

Числитель является полным квадратом: $m+4\sqrt{m}+4 = (\sqrt{m}+2)^2$.

$\frac{(\sqrt{m}+2)^2}{(\sqrt{m}-2)(\sqrt{m}+2)} = \frac{\sqrt{m}+2}{\sqrt{m}-2}$.

2. Выполним деление.

$\frac{\sqrt{m}+2}{\sqrt{m}-2} : \frac{\sqrt{m}+2}{m-2\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m}+2}{\sqrt{m}-2} \cdot \frac{m-2\sqrt{m}}{\sqrt{m}+2}$.

Сокращаем на $(\sqrt{m}+2)$ и раскладываем на множители числитель второй дроби $m-2\sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{m}-2)$:

$\frac{1}{\sqrt{m}-2} \cdot \sqrt{m}(\sqrt{m}-2) = \sqrt{m}$.

Ответ: $\sqrt{m}$.

Дано: $\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2} = 3$.

Для нахождения значения $\sqrt{(7-c)(c-2)}$ возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2})^2 = 3^2$

$(\sqrt{7-c})^2 + 2\sqrt{7-c}\sqrt{c-2} + (\sqrt{c-2})^2 = 9$

$(7-c) + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} + (c-2) = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$7-c+c-2 + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9$

$5 + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9$

Теперь выразим искомое значение:

$2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9 - 5$

$2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 4$

$\sqrt{(7-c)(c-2)} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2.

1) $\sqrt{19+8\sqrt{3}}$

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Преобразуем слагаемое с корнем: $8\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}$. Это слагаемое $2ab$.

Пусть $a=4$ и $b=\sqrt{3}$. Тогда $a^2=16$ и $b^2=(\sqrt{3})^2=3$.

Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = 16+3=19$. Это совпадает с первым слагаемым под корнем.

Следовательно, $19+8\sqrt{3} = 16 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 3 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (4+\sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = |4+\sqrt{3}| = 4+\sqrt{3}$, так как $4+\sqrt{3}>0$.

Ответ: $4+\sqrt{3}$.

2) $\sqrt{a+12\sqrt{a-36}}$

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Преобразуем слагаемое с внутренним корнем: $12\sqrt{a-36} = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{a-36}$. Это слагаемое $2xy$.

Пусть $x=6$ и $y=\sqrt{a-36}$. Тогда $x^2=36$ и $y^2=(\sqrt{a-36})^2=a-36$.

Проверим сумму квадратов: $x^2+y^2 = 36 + (a-36) = a$. Это совпадает с первым слагаемым $a$ в исходном выражении.

Таким образом, $a+12\sqrt{a-36} = (a-36) + 36 + 12\sqrt{a-36} = (\sqrt{a-36})^2 + 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{a-36} = (\sqrt{a-36}+6)^2$.

Тогда $\sqrt{a+12\sqrt{a-36}} = \sqrt{(\sqrt{a-36}+6)^2} = |\sqrt{a-36}+6|$.

Поскольку $\sqrt{a-36} \ge 0$, то сумма $\sqrt{a-36}+6$ всегда положительна.

Следовательно, $|\sqrt{a-36}+6| = \sqrt{a-36}+6$.

Ответ: $\sqrt{a-36}+6$.