Номер 33, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 33, страница 62.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 10x = 0$

2) $6x^2 - 30 = 0$

3) $x^2 + 100 = 0$

2. При каком значении параметра $a$ число $-3$ является корнем уравнения $x^2 + ax - 21 = 0$?

3. Решите уравнение:

1) $(4x + 3)^2 - 3(3 - 8x) = 0$

2) $x^2 - 5|x| = 0$

3) $x^2 - 3|x| + 4x = 0$

4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 - 2a)x - 2a + 1 = 0$ являются противоположными числами?

Решение.

1)Дано уравнение $x^2 + 10x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 10) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x = 0$ или $x + 10 = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -10$
Ответ: $0; -10$.

2)Дано уравнение $6x^2 - 30 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$6x^2 = 30$
Разделим обе части на 6:
$x^2 = 5$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{5}$
$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$
Ответ: $\pm\sqrt{5}$.

3)Дано уравнение $x^2 + 100 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = -100$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

2.Если число -3 является корнем уравнения $x^2 + ax - 21 = 0$, то при подстановке $x = -3$ в уравнение мы получим верное равенство.
Подставим $x = -3$:
$(-3)^2 + a(-3) - 21 = 0$
$9 - 3a - 21 = 0$
$-3a - 12 = 0$
Перенесем 12 в правую часть:
$-3a = 12$
Разделим обе части на -3:
$a = \frac{12}{-3}$
$a = -4$
Ответ: при $a = -4$.

1)Дано уравнение $(4x + 3)^2 - 3(3 - 8x) = 0$.
Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(16x^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2) - (9 - 24x) = 0$
$16x^2 + 24x + 9 - 9 + 24x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$16x^2 + 48x = 0$
Вынесем общий множитель $16x$ за скобки:
$16x(x + 3) = 0$
Отсюда $16x = 0$ или $x + 3 = 0$.
$x_1 = 0$, $x_2 = -3$
Ответ: $0; -3$.

2)Дано уравнение $x^2 - 5|x| = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$|x|^2 - 5|x| = 0$
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$|x| = 0$ или $|x| - 5 = 0$
Из $|x| = 0$ следует $x = 0$.
Из $|x| - 5 = 0$ следует $|x| = 5$, что дает два корня: $x = 5$ и $x = -5$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-5; 0; 5$.

3)Дано уравнение $x^2 - 3|x| + 4x = 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x + 4x = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 0$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3(-x) + 4x = 0$
$x^2 + 3x + 4x = 0$
$x^2 + 7x = 0$
$x(x+7) = 0$
Корни: $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x_4 = -7$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-7; 0$.

4.Дано квадратное уравнение $x^2 + (a^2 - 2a)x - 2a + 1 = 0$.
Корни уравнения являются противоположными числами, если их сумма равна нулю, и при этом они существуют (то есть дискриминант $D \ge 0$).
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна $-p$.
В нашем случае $p = a^2 - 2a$.
Условие $x_1 + x_2 = 0$ дает:
$-(a^2 - 2a) = 0$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
Возможные значения параметра: $a = 0$ или $a = 2$.
Теперь необходимо проверить, при каких из этих значений уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D = p^2 - 4q$, где $q = -2a + 1$.
$D = (a^2 - 2a)^2 - 4(1)(-2a + 1) = (a^2 - 2a)^2 + 8a - 4$.
Проверим $a=0$:
$D = (0^2 - 2 \cdot 0)^2 + 8 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.
Так как $D < 0$, при $a=0$ уравнение не имеет действительных корней.
Проверим $a=2$:
$D = (2^2 - 2 \cdot 2)^2 + 8 \cdot 2 - 4 = (4 - 4)^2 + 16 - 4 = 0^2 + 12 = 12$.
Так как $D > 0$, при $a=2$ уравнение имеет два различных действительных корня, сумма которых равна нулю, то есть они противоположны.
Ответ: при $a = 2$.