Номер 38, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 38, страница 65.

Условие.

Самостоятельная работа № 38

Решение уравнений методом замены переменной

1. Решите уравнение:

1) $x^4 + 12x^2 - 64 = 0$;

2) $(x + 7)^4 - 17(x + 7)^2 + 16 = 0$.

2. Решите уравнение $(x^2 + 3x - 1)^2 - 12x^2 - 36x + 39 = 0$.

3. Решите уравнение $\frac{2}{(x - 1)(x + 5)} - \frac{1}{x(x + 4)} = \frac{1}{12}$.

4. Решите уравнение $5\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 16$.

Решение.

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 + 12x^2 - 64 = 0$.
Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + 12y - 64 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2$.
$y_1 = \frac{-12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-12 - 20}{2} = -16$.
$y_2 = \frac{-12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-12 + 20}{2} = 4$.
Корень $y_1 = -16$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$ для корня $y_2 = 4$:
$x^2 = 4$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

2) Дано уравнение $(x + 7)^4 - 17(x + 7)^2 + 16 = 0$.
Это уравнение также является биквадратным относительно выражения $(x+7)$. Введем замену переменной: пусть $y = (x + 7)^2$. Условие $y \ge 0$ должно выполняться.
Уравнение принимает вид: $y^2 - 17y + 16 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко находятся по теореме Виета: сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Таким образом, $y_1 = 1$ и $y_2 = 16$. Оба корня неотрицательны, значит, оба подходят.
Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$:
1. Если $y = 1$, то $(x + 7)^2 = 1$.
$x + 7 = 1$ или $x + 7 = -1$.
$x_1 = 1 - 7 = -6$.
$x_2 = -1 - 7 = -8$.
2. Если $y = 16$, то $(x + 7)^2 = 16$.
$x + 7 = 4$ или $x + 7 = -4$.
$x_3 = 4 - 7 = -3$.
$x_4 = -4 - 7 = -11$.
Ответ: $-11; -8; -6; -3$.

2. Дано уравнение $(x^2 + 3x - 1)^2 - 12x^2 - 36x + 39 = 0$.
Заметим, что $-12x^2 - 36x = -12(x^2 + 3x)$. Перепишем уравнение:
$(x^2 + 3x - 1)^2 - 12(x^2 + 3x) + 39 = 0$.
Введем замену переменной: пусть $y = x^2 + 3x - 1$. Тогда $x^2 + 3x = y + 1$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 12(y + 1) + 39 = 0$.
$y^2 - 12y - 12 + 39 = 0$.
$y^2 - 12y + 27 = 0$.
По теореме Виета, $y_1 = 3$, $y_2 = 9$.
Выполним обратную замену:
1. Если $y = 3$, то $x^2 + 3x - 1 = 3$.
$x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
2. Если $y = 9$, то $x^2 + 3x - 1 = 9$.
$x^2 + 3x - 10 = 0$.
По теореме Виета, $x_3 = 2$, $x_4 = -5$.
Ответ: $-5; -4; 1; 2$.

3. Дано уравнение $\frac{2}{(x - 1)(x + 5)} - \frac{1}{x(x + 4)} = \frac{1}{12}$.
Раскроем скобки в знаменателях: $\frac{2}{x^2 + 4x - 5} - \frac{1}{x^2 + 4x} = \frac{1}{12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1, x \ne -5, x \ne 0, x \ne -4$.
Введем замену переменной: пусть $y = x^2 + 4x$.
Уравнение примет вид: $\frac{2}{y - 5} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$.
Решим это уравнение относительно $y$, учитывая, что $y \ne 0$ и $y \ne 5$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12y(y - 5)$:
$2 \cdot 12y - 1 \cdot 12(y - 5) = 1 \cdot y(y - 5)$.
$24y - 12y + 60 = y^2 - 5y$.
$12y + 60 = y^2 - 5y$.
$y^2 - 17y - 60 = 0$.
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.
$y_1 = \frac{17 - 23}{2} = -3$.
$y_2 = \frac{17 + 23}{2} = 20$.
Оба значения $y$ допустимы.
Выполним обратную замену:
1. Если $y = -3$, то $x^2 + 4x = -3 \implies x^2 + 4x + 3 = 0$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
2. Если $y = 20$, то $x^2 + 4x = 20 \implies x^2 + 4x - 20 = 0$.
$D_x = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 16 + 80 = 96$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{6}$.
$x_3 = -2 - 2\sqrt{6}$, $x_4 = -2 + 2\sqrt{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-2 - 2\sqrt{6}; -3; -1; -2 + 2\sqrt{6}$.

4. Дано уравнение $5\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 16$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Это возвратное уравнение. Введем замену: пусть $y = x + \frac{1}{x}$.
Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда выразим $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим замену в исходное уравнение:
$5(y^2 - 2) - 3y = 16$.
$5y^2 - 10 - 3y - 16 = 0$.
$5y^2 - 3y - 26 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26) = 9 + 520 = 529 = 23^2$.
$y_1 = \frac{3 - 23}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
$y_2 = \frac{3 + 23}{2 \cdot 5} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
Выполним обратную замену:
1. Если $y = -2$, то $x + \frac{1}{x} = -2$.
Умножим на $x \ne 0$: $x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0$.
$x_1 = -1$.
2. Если $y = \frac{13}{5}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{5}$.
Умножим на $5x \ne 0$: $5x^2 + 5 = 13x \implies 5x^2 - 13x + 5 = 0$.
$D_x = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 169 - 100 = 69$.
$x_{2,3} = \frac{13 \pm \sqrt{69}}{10}$.
Ответ: $-1; \frac{13 - \sqrt{69}}{10}; \frac{13 + \sqrt{69}}{10}$.