Номер 35, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 35, страница 63.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Теорема Виета

1. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 7x - 137 = 0$;

2) $6x^2 - 17x - 55 = 0$.

2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $-\frac{1}{4}$ и 3;

2) $4 - \sqrt{17}$ и $4 + \sqrt{17}$.

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$.

Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 4x - 10 = 0$.

5. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a - 5)x + a^2 - 3a = 0$ равно 4?

Решение.

1) Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В уравнении $x^2 + 7x - 137 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=7$, $c=-137$.
Следовательно, сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{7}{1} = -7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-137}{1} = -137$.
Ответ: сумма корней -7, произведение корней -137.

2) В уравнении $6x^2 - 17x - 55 = 0$ коэффициенты равны: $a=6$, $b=-17$, $c=-55$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-17}{6} = \frac{17}{6}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-55}{6} = -\frac{55}{6}$.
Ответ: сумма корней $\frac{17}{6}$, произведение корней $-\frac{55}{6}$.

1) Если корни квадратного уравнения равны $x_1$ и $x_2$, то его можно составить по формуле $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Даны корни $x_1 = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = 3$.
Найдем их сумму и произведение:
$x_1 + x_2 = -\frac{1}{4} + 3 = \frac{11}{4}$.
$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{4} \cdot 3 = -\frac{3}{4}$.
Составляем уравнение: $x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{4} = 0$.
Для получения целых коэффициентов умножим обе части уравнения на 4:
$4x^2 - 11x - 3 = 0$.
Ответ: $4x^2 - 11x - 3 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = 4 - \sqrt{17}$ и $x_2 = 4 + \sqrt{17}$.
Найдем их сумму и произведение:
$x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{17}) + (4 + \sqrt{17}) = 8$.
$x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{17})(4 + \sqrt{17}) = 4^2 - (\sqrt{17})^2 = 16 - 17 = -1$.
Составляем уравнение: $x^2 - 8x + (-1) = 0$, то есть $x^2 - 8x - 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 8x - 1 = 0$.

Для уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$ по теореме Виета сумма и произведение корней $x_1$ и $x_2$ равны:
$x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.
$x_1 \cdot x_2 = -3$.

1) Найдем значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$.
Подставим найденные значения суммы и произведения корней: $\frac{7}{-3} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$.

2) Найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Используем тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, откуда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные значения: $(7)^2 - 2(-3) = 49 + 6 = 55$.
Ответ: 55.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 4x - 10 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$.
$x_1 \cdot x_2 = -10$.
Корни нового уравнения, обозначим их $y_1$ и $y_2$, на 4 меньше соответствующих корней исходного уравнения:
$y_1 = x_1 - 4$ и $y_2 = x_2 - 4$.
Найдем сумму и произведение новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 - 4) + (x_2 - 4) = (x_1 + x_2) - 8 = 4 - 8 = -4$.
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 4)(x_2 - 4) = x_1x_2 - 4(x_1 + x_2) + 16 = -10 - 4(4) + 16 = -10 - 16 + 16 = -10$.
Новое квадратное уравнение имеет вид $x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2 = 0$.
Подставив найденные значения, получаем: $x^2 - (-4)x + (-10) = 0$.
$x^2 + 4x - 10 = 0$.
Ответ: $x^2 + 4x - 10 = 0$.

Для уравнения $x^2 + (a - 5)x + a^2 - 3a = 0$ произведение корней по теореме Виета равно свободному члену $a^2 - 3a$.
По условию, это произведение равно 4. Составим уравнение относительно $a$:
$a^2 - 3a = 4$.
$a^2 - 3a - 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $a_1 = 4$ и $a_2 = -1$ (по теореме Виета для этого уравнения $a_1+a_2=3, a_1a_2=-4$).
Для существования действительных корней в исходном уравнении его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.
$D = (a-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2-3a) = a^2 - 10a + 25 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 2a + 25$.
Проверим условие $D \ge 0$ для найденных значений $a$:
1. При $a = 4$: $D = -3(4^2) + 2(4) + 25 = -48 + 8 + 25 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
2. При $a = -1$: $D = -3(-1)^2 + 2(-1) + 25 = -3 - 2 + 25 = 20$. Так как $D > 0$, действительные корни есть.
Следовательно, подходит только значение $a = -1$.
Ответ: при $a = -1$.