Номер 36, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 36, страница 64.

Условие.

Самостоятельная работа № 36

Квадратный трёхчлен

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $-x^2 - 6x + 7;$ 2) $18x^2 - 3x - 1.$

2. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - 7};$

2) $\frac{25a^2 + 10a + 1}{5a^2 - 9a - 2}.$

3. Упростите выражение

$\frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{5y^2 - 5}{2y^2 + 7y - 4} \cdot \frac{1 - 2y}{y - 1}.$

4. Решите неравенство:

1) $4x^2 - 5x + 3 < 0;$ 2) $(\sqrt{x} - 3)(x^2 - 2x + 7) \ge 0.$

5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-5x^2 + ax + 8$ содержит множитель $x - 2$?

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $15x^2 - 8xy + y^2 = 0.$

Решение.

1)

Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $-x^2 - 6x + 7$, мы сначала найдём корни уравнения $-x^2 - 6x + 7 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$.
Разложение на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a = -1$.
$-x^2 - 6x + 7 = -1(x - 1)(x - (-7)) = -(x - 1)(x + 7)$.
Ответ: $-(x - 1)(x + 7)$.

2)

Чтобы разложить на множители трёхчлен $18x^2 - 3x - 1$, найдём корни уравнения $18x^2 - 3x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(18)(-1) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}$.
Разложение на множители: $a(x - x_1)(x - x_2) = 18(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{6}) = 3 \cdot (x - \frac{1}{3}) \cdot 6 \cdot (x + \frac{1}{6}) = (3x - 1)(6x + 1)$.
Ответ: $(3x - 1)(6x + 1)$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - 7}$, разложим числитель на множители.
Найдём корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.
Подставим это в дробь: $\frac{(x - 1)(x - 7)}{x - 7}$.
При условии, что $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$, мы можем сократить дробь на $(x - 7)$.
$\frac{(x - 1)(x - 7)}{x - 7} = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{25a^2 + 10a + 1}{5a^2 - 9a - 2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $25a^2 + 10a + 1$ является полным квадратом: $(5a + 1)^2$.
Для знаменателя $5a^2 - 9a - 2$ найдём корни уравнения $5a^2 - 9a - 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4(5)(-2) = 81 + 40 = 121$.
$a_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = 2$.
$a_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Значит, $5a^2 - 9a - 2 = 5(a - 2)(a - (-\frac{1}{5})) = (a - 2)(5a + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(5a + 1)^2}{(a - 2)(5a + 1)} = \frac{5a + 1}{a - 2}$.
Ответ: $\frac{5a + 1}{a - 2}$.

3.

Упростим выражение $\frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{5y^2 - 5}{2y^2 + 7y - 4} \cdot \frac{1 - 2y}{y - 1}$.
Сначала выполним умножение. Для этого разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители.
$5y^2 - 5 = 5(y^2 - 1) = 5(y - 1)(y + 1)$.
Для $2y^2 + 7y - 4 = 0$ найдём корни: $D = 7^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81$.
$y_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2}$, $y_2 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$.
$2y^2 + 7y - 4 = 2(y - \frac{1}{2})(y + 4) = (2y - 1)(y + 4)$.
$1 - 2y = -(2y - 1)$.
Произведение дробей: $\frac{5(y - 1)(y + 1)}{(2y - 1)(y + 4)} \cdot \frac{-(2y - 1)}{y - 1} = \frac{-5(y + 1)}{y + 4}$.
Теперь выполним сложение: $\frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{-5(y + 1)}{y + 4} = \frac{17 + 8y - 5y - 5}{y + 4} = \frac{3y + 12}{y + 4} = \frac{3(y + 4)}{y + 4} = 3$.
Упрощение верно при $y \neq -4$, $y \neq 1$ и $y \neq \frac{1}{2}$.
Ответ: $3$.

1)

Решим неравенство $4x^2 - 5x + 3 < 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = 4x^2 - 5x + 3$. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$).
Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 3 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4(4)(3) = 25 - 48 = -23$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $x$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $x$, вся парабола находится выше оси $x$. Следовательно, $4x^2 - 5x + 3 > 0$ для всех действительных $x$.
Таким образом, неравенство $4x^2 - 5x + 3 < 0$ не имеет решений.
Ответ: нет решений.

2)

Решим неравенство $(\sqrt{x} - 3)(x^2 - 2x + 7) \geq 0$.
Область допустимых значений определяется наличием квадратного корня: $x \geq 0$.
Рассмотрим второй множитель $x^2 - 2x + 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).
Найдём дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 7 = 0$: $D = (-2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, этот трёхчлен не имеет корней и всегда положителен.
Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего выражения зависит только от знака первого множителя:
$\sqrt{x} - 3 \geq 0$
$\sqrt{x} \geq 3$
Возводя обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны), получаем:
$x \geq 9$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$).
Ответ: $x \in [9; +\infty)$.

5.

Если разложение трёхчлена $-5x^2 + ax + 8$ на линейные множители содержит множитель $x - 2$, это означает, что $x=2$ является корнем этого трёхчлена.
Следовательно, при подстановке $x=2$ в трёхчлен, его значение должно быть равно нулю.
$-5(2)^2 + a(2) + 8 = 0$
$-5(4) + 2a + 8 = 0$
$-20 + 2a + 8 = 0$
$-12 + 2a = 0$
$2a = 12$
$a = 6$
Ответ: $a = 6$.

6.

Рассмотрим уравнение $15x^2 - 8xy + y^2 = 0$.
Перепишем его в виде квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 - (8x)y + 15x^2 = 0$.
Это уравнение можно разложить на множители, рассматривая его как квадратный трёхчлен. Нам нужны два одночлена, сумма которых равна $-8xy$, а произведение $15x^2y^2$. Это $-3xy$ и $-5xy$.
Таким образом, левую часть можно разложить на множители:
$(y - 3x)(y - 5x) = 0$.
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
$y - 3x = 0$ или $y - 5x = 0$.
Отсюда получаем два уравнения:
$y = 3x$ и $y = 5x$.
Множество точек, удовлетворяющих исходному равенству, является объединением графиков этих двух линейных функций.
Графиком является пара прямых, проходящих через начало координат: $y = 3x$ и $y = 5x$.
Ответ: Множество точек представляет собой две прямые, $y = 3x$ и $y = 5x$, пересекающиеся в начале координат.