Номер 30, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 30, страница 61.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $-1,2\sqrt{175}$

2) $-15\sqrt{0,32}$

3) $\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{25}}$

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $7\sqrt{3}$

2) $-2\sqrt{10}$

3. Упростите выражение $\sqrt{4a} + \sqrt{64a} - \sqrt{9a}$

4. Упростите выражение:

1) $(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})$

2) $(6\sqrt{m} + 8\sqrt{n})(6\sqrt{m} - 8\sqrt{n})$

3) $(8 - \sqrt{6})^2 + (5 + \sqrt{6})^2$

4) $(\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2$

5. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 17}{x + \sqrt{17}}$

2) $\frac{c + 9\sqrt{c}}{c - 81}$

3) $\frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{a - 25}$

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{27}{2\sqrt{3}}$

2) $\frac{41}{\sqrt{47} - \sqrt{6}}$

Решение.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $-1,2\sqrt{175}$, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.
$175 = 25 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$.
$-1,2\sqrt{175} = -1,2\sqrt{5^2 \cdot 7} = -1,2 \cdot (\sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7}) = -1,2 \cdot 5\sqrt{7} = -6\sqrt{7}$.
Ответ: $-6\sqrt{7}$.

2) Для выражения $-15\sqrt{0,32}$ представим десятичную дробь в виде произведения, где один из множителей — полный квадрат.
$0,32 = 0,16 \cdot 2 = 0,4^2 \cdot 2$.
$-15\sqrt{0,32} = -15\sqrt{0,16 \cdot 2} = -15 \cdot (\sqrt{0,16} \cdot \sqrt{2}) = -15 \cdot 0,4\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$.
Ответ: $-6\sqrt{2}$.

3) В выражении $\frac{5}{8}\sqrt{5\frac{3}{25}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$5\frac{3}{25} = \frac{5 \cdot 25 + 3}{25} = \frac{128}{25}$.
Теперь вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$.
Подставим результат в исходное выражение: $\frac{5}{8} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{5} = \frac{5 \cdot 8\sqrt{2}}{8 \cdot 5}$.
Сокращаем дробь и получаем $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) Для выражения $7\sqrt{3}$, представим множитель 7 в виде корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$.
$7\sqrt{3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{147}$.
Ответ: $\sqrt{147}$.

2) В выражении $-2\sqrt{10}$ под знак корня вносится только положительный множитель 2. Знак минус остается перед корнем.
$2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.
$-2\sqrt{10} = -(\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}) = -\sqrt{4 \cdot 10} = -\sqrt{40}$.
Ответ: $-\sqrt{40}$.

3. Упростите выражение $\sqrt{4a} + \sqrt{64a} - \sqrt{9a}$:

Вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Предполагается, что $a \ge 0$.
$\sqrt{4a} = \sqrt{4}\sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.
$\sqrt{64a} = \sqrt{64}\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$.
$\sqrt{9a} = \sqrt{9}\sqrt{a} = 3\sqrt{a}$.
Теперь сложим и вычтем полученные выражения: $2\sqrt{a} + 8\sqrt{a} - 3\sqrt{a} = (2 + 8 - 3)\sqrt{a} = 7\sqrt{a}$.
Ответ: $7\sqrt{a}$.

4. Упростите выражение:

1) Раскроем скобки в выражении $(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})$ по правилу умножения многочленов (FOIL).
$(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6}) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3\sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6} = 8 + 12\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 3 \cdot 6 = 8 + 10\sqrt{6} - 18 = -10 + 10\sqrt{6}$.
Ответ: $-10 + 10\sqrt{6}$.

2) Выражение $(6\sqrt{m} + 8\sqrt{n})(6\sqrt{m} - 8\sqrt{n})$ представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(6\sqrt{m} + 8\sqrt{n})(6\sqrt{m} - 8\sqrt{n}) = (6\sqrt{m})^2 - (8\sqrt{n})^2 = 6^2(\sqrt{m})^2 - 8^2(\sqrt{n})^2 = 36m - 64n$.
Ответ: $36m - 64n$.

3) Для упрощения выражения $(8 - \sqrt{6})^2 + (5 + \sqrt{6})^2$ используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(8 - \sqrt{6})^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 64 - 16\sqrt{6} + 6 = 70 - 16\sqrt{6}$.
$(5 + \sqrt{6})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 25 + 10\sqrt{6} + 6 = 31 + 10\sqrt{6}$.
Сложим результаты: $(70 - 16\sqrt{6}) + (31 + 10\sqrt{6}) = 70 + 31 - 16\sqrt{6} + 10\sqrt{6} = 101 - 6\sqrt{6}$.
Ответ: $101 - 6\sqrt{6}$.

4) В выражении $(\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.
$a^2 = (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}})^2 = 8 + 2\sqrt{7}$.
$b^2 = (\sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2 = 8 - 2\sqrt{7}$.
$2ab = 2\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} \cdot \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} = 2\sqrt{8^2 - (2\sqrt{7})^2} = 2\sqrt{64 - 4 \cdot 7} = 2\sqrt{64 - 28} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$.
Сложим все части: $a^2 + b^2 + 2ab = (8 + 2\sqrt{7}) + (8 - 2\sqrt{7}) + 12 = 16 + 12 = 28$.
Ответ: 28.

5. Сократите дробь:

1) В дроби $\frac{x^2 - 17}{x + \sqrt{17}}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 17 = x^2 - (\sqrt{17})^2 = (x - \sqrt{17})(x + \sqrt{17})$.
$\frac{(x - \sqrt{17})(x + \sqrt{17})}{x + \sqrt{17}} = x - \sqrt{17}$ (при условии, что $x + \sqrt{17} \neq 0$).
Ответ: $x - \sqrt{17}$.

2) В дроби $\frac{c + 9\sqrt{c}}{c - 81}$ вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель по формуле разности квадратов. Предполагается, что $c \ge 0, c \neq 81$.
Числитель: $c + 9\sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c} + 9)$.
Знаменатель: $c - 81 = (\sqrt{c})^2 - 9^2 = (\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)$.
Дробь: $\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} + 9)}{(\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)} = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} - 9}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} - 9}$.

3) В дроби $\frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{a - 25}$ числитель является полным квадратом, а знаменатель — разностью квадратов. Предполагается, что $a \ge 0, a \neq 25$.
Числитель: $a - 10\sqrt{a} + 25 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{a} - 5)^2$.
Знаменатель: $a - 25 = (\sqrt{a})^2 - 5^2 = (\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)$.
Дробь: $\frac{(\sqrt{a} - 5)^2}{(\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}$.

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{27}{2\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.
$\frac{27}{2\sqrt{3}} = \frac{27 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{27\sqrt{3}}{6}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

2) Для дроби $\frac{41}{\sqrt{47} - \sqrt{6}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{47} + \sqrt{6}$.
$\frac{41}{\sqrt{47} - \sqrt{6}} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{(\sqrt{47} - \sqrt{6})(\sqrt{47} + \sqrt{6})} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{47 - 6} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{41}$.
Сокращаем на 41: $\sqrt{47} + \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{47} + \sqrt{6}$.