Номер 32, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 32, страница 62.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Функция $y = \sqrt{x}$ и её график

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - 2x$ и определите координаты точки их пересечения.

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{4x - 3} < 2$;

2) $\sqrt{x + 3} > \sqrt{3x - 5}$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 4) = 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x + 18 + 8\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 27 - 10\sqrt{x + 2}} = 9$.

Решение.

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - 2x$ и определите координаты точки их пересечения.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

1) $y = \sqrt{x}$. Это график ветви параболы. Область определения: $x \ge 0$.

• При $x=0, y=0$
• При $x=1, y=1$
• При $x=4, y=2$
• При $x=9, y=3$

2) $y = 3 - 2x$. Это прямая линия. Для построения достаточно двух точек.

• При $x=0, y=3$
• При $x=1.5, y=0$

Для точного определения координат точки пересечения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 3 - 2x \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $\sqrt{x} = 3 - 2x$.

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы обе части были неотрицательны. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то должно выполняться условие $3 - 2x \ge 0$, откуда $2x \le 3$, то есть $x \le 1.5$. Также из области определения функции $y = \sqrt{x}$ имеем $x \ge 0$. Таким образом, корень уравнения должен лежать в промежутке $[0; 1.5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (3 - 2x)^2$

$x = 9 - 12x + 4x^2$

$4x^2 - 13x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le x \le 1.5$.

Корень $x_1 = 2.25$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, является посторонним.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений:

$y = \sqrt{1} = 1$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1, 1).

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{4x - 3} < 2$

Решение неравенства сводится к решению системы:

$\begin{cases} 4x - 3 \ge 0 \quad \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ \sqrt{4x - 3} < 2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $4x \ge 3$, то есть $x \ge \frac{3}{4}$.

Поскольку обе части второго неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{4x - 3})^2 < 2^2$

$4x - 3 < 4$

$4x < 7$

$x < \frac{7}{4}$

Объединяя оба условия, получаем: $\frac{3}{4} \le x < \frac{7}{4}$.

Ответ: $[\frac{3}{4}; \frac{7}{4})$.

2) $\sqrt{x + 3} > \sqrt{3x - 5}$

Решение неравенства эквивалентно решению системы, учитывающей область допустимых значений:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 3x - 5 \ge 0 \\ (\sqrt{x + 3})^2 > (\sqrt{3x - 5})^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$

2) $3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$

3) $x + 3 > 3x - 5 \implies 8 > 2x \implies 4 > x \implies x < 4$

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge -3$, $x \ge \frac{5}{3}$ и $x < 4$. Общим решением будет промежуток $[\frac{5}{3}; 4)$.

Ответ: $[\frac{5}{3}; 4)$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 4) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y - \sqrt{x} = 0 \quad$ или $\quad y - 4 = 0$

Это означает, что искомый график является объединением графиков двух уравнений: $y = \sqrt{x}$ и $y = 4$.

При этом необходимо учесть область допустимых значений исходного уравнения. Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

1) График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через точки (1,1), (4,2), (9,3) и так далее, расположенная в первой координатной четверти.

2) График $y = 4$ — это горизонтальная прямая. С учетом ОДЗ ($x \ge 0$), это будет луч, выходящий из точки (0, 4) и идущий вправо параллельно оси Ox.

Таким образом, график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 4) = 0$ представляет собой объединение графика функции $y = \sqrt{x}$ и луча $y=4$ при $x \ge 0$.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = \sqrt{x}$ и луча $y=4$, где $x \ge 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x + 18 + 8\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 27 - 10\sqrt{x + 2}} = 9$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x + 2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x + 2}$. Так как $t$ — арифметический квадратный корень, то $t \ge 0$. Из замены следует, что $t^2 = x + 2$, или $x = t^2 - 2$.

Преобразуем первое подкоренное выражение:

$x + 18 + 8\sqrt{x + 2} = (t^2 - 2) + 18 + 8t = t^2 + 8t + 16 = (t + 4)^2$

Преобразуем второе подкоренное выражение:

$x + 27 - 10\sqrt{x + 2} = (t^2 - 2) + 27 - 10t = t^2 - 10t + 25 = (t - 5)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(t + 4)^2} + \sqrt{(t - 5)^2} = 9$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем уравнение с модулями:

$|t + 4| + |t - 5| = 9$

Так как по условию $t \ge 0$, то $t + 4$ всегда будет положительным числом, следовательно, $|t + 4| = t + 4$.

Уравнение принимает вид:

$t + 4 + |t - 5| = 9$

$|t - 5| = 9 - t - 4$

$|t - 5| = 5 - t$

Уравнение вида $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда $A \le 0$. В нашем случае:

$t - 5 \le 0$

$t \le 5$

Мы получили условие $t \le 5$. Также у нас было условие $t \ge 0$. Объединив их, получаем двойное неравенство: $0 \le t \le 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$. Подставим $t = \sqrt{x + 2}$:

$0 \le \sqrt{x + 2} \le 5$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$0^2 \le (\sqrt{x + 2})^2 \le 5^2$

$0 \le x + 2 \le 25$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-2 \le x \le 23$

Данный промежуток удовлетворяет первоначальному ОДЗ ($x \ge -2$).

Ответ: $[-2; 23]$.