Номер 39, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 39, страница 65.

Условие.

Самостоятельная работа № 39

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

1. Автобус должен был проехать 280 км. Проехав $\frac{3}{7}$ этого расстояния, автобус увеличил свою скорость на 20 км/ч. Найдите скорость автобуса на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 4 ч.

2. Два маляра покрасили кабинет математики за 4 ч. За сколько часов может покрасить кабинет каждый маляр самостоятельно, если одному из них для этого требуется на 6 ч меньше, чем другому?

3. Водный раствор соли содержал 70 г воды. После того как в раствор добавили 200 г воды, концентрация соли уменьшилась на 20 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Решение.

1.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. На первом участке пути автобус проехал расстояние $S_1$, которое составляет $\frac{3}{7}$ от всего пути:

$S_1 = 280 \cdot \frac{3}{7} = 40 \cdot 3 = 120$ км.

Оставшийся участок пути $S_2$ равен:

$S_2 = 280 - 120 = 160$ км.

На втором участке автобус увеличил скорость на 20 км/ч, то есть его скорость стала $(v + 20)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок: $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{120}{v}$ ч.

Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{S_2}{v+20} = \frac{160}{v+20}$ ч.

Общее время в пути составило 4 часа, поэтому можем составить уравнение:

$t_1 + t_2 = 4$

$\frac{120}{v} + \frac{160}{v+20} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$\frac{30}{v} + \frac{40}{v+20} = 1$

Приведем к общему знаменателю $v(v+20)$, при условии, что $v > 0$:

$30(v+20) + 40v = v(v+20)$

$30v + 600 + 40v = v^2 + 20v$

$70v + 600 = v^2 + 20v$

$v^2 - 50v - 600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 2500 + 2400 = 4900$

$\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-(-50) + 70}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-(-50) - 70}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -10$ не подходит. Следовательно, начальная скорость автобуса была 60 км/ч.

Скорость на втором участке: $v + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса на первом участке была 60 км/ч, а на втором — 80 км/ч.

2.

Пусть время, за которое второй маляр может покрасить кабинет самостоятельно, равно $t$ часов. Тогда первому маляру, который работает быстрее, требуется $(t-6)$ часов. Производительность (часть работы в час) первого маляра равна $\frac{1}{t-6}$, а второго — $\frac{1}{t}$.

Работая вместе, они покрасили кабинет за 4 часа. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей и составляет $\frac{1}{4}$ кабинета в час.

Составим уравнение:

$\frac{1}{t-6} + \frac{1}{t} = \frac{1}{4}$

Условие задачи подразумевает, что $t > 6$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{t + (t-6)}{t(t-6)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2t - 6}{t^2 - 6t} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:

$4(2t - 6) = 1(t^2 - 6t)$

$8t - 24 = t^2 - 6t$

$t^2 - 14t + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 14, а произведение равно 24. Корни: $t_1 = 12$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни по условию $t > 6$. Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет этому условию, так как время работы первого маляра было бы $2 - 6 = -4$ часа, что невозможно. Корень $t_1 = 12$ удовлетворяет условию.

Таким образом, время работы второго маляра — 12 часов.

Время работы первого маляра: $t - 6 = 12 - 6 = 6$ часов.

Ответ: один маляр может покрасить кабинет за 6 часов, а другой — за 12 часов.

3.

Пусть $x$ граммов — масса соли в растворе. Изначально в растворе было 70 г воды.

Начальная масса раствора: $m_1 = (x + 70)$ г.

Начальная концентрация соли: $C_1 = \frac{x}{x+70}$.

После того как в раствор добавили 200 г воды, масса воды стала $70 + 200 = 270$ г, а масса соли осталась прежней.

Конечная масса раствора: $m_2 = (x + 270)$ г.

Конечная концентрация соли: $C_2 = \frac{x}{x+270}$.

По условию, концентрация уменьшилась на 20%, это означает, что новая концентрация составила $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Математически это выражается как $C_2 = 0.8 \cdot C_1$.

Составим уравнение:

$\frac{x}{x+270} = 0.8 \cdot \frac{x}{x+70}$

Поскольку масса соли $x$ должна быть больше нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$\frac{1}{x+270} = \frac{0.8}{x+70}$

Используя свойство пропорции, получим:

$1 \cdot (x+70) = 0.8 \cdot (x+270)$

$x + 70 = 0.8x + 216$

$x - 0.8x = 216 - 70$

$0.2x = 146$

$x = \frac{146}{0.2} = 730$

Следовательно, в растворе содержится 730 граммов соли.

Ответ: раствор содержит 730 граммов соли.