Номер 4, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 4, страница 68.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Равномощные множества. Счётные множества

1. Докажите, что множество чисел вида $6^{3n-2}$ ($n \in N$) счётно.

2. На координатной плоскости отметили точки $A(-4; 0)$, $B(0; 1)$, $C(-3; 0)$, $D(0; 9)$. Докажите, что множества точек отрезков $AC$ и $BD$ равномощны.

Решение.

1. Чтобы доказать, что множество чисел вида $6^{3n-2}$ ($n \in \mathbb{N}$) счётно, необходимо установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$.
Пусть дано множество $M = \{6^{3n-2} | n \in \mathbb{N}\}$.
Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to M$, заданную формулой $f(n) = 6^{3n-2}$.
Докажем, что эта функция является биекцией.
1. Инъективность (взаимная однозначность). Пусть $f(n_1) = f(n_2)$ для некоторых $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$. Тогда $6^{3n_1-2} = 6^{3n_2-2}$. Так как основания степеней равны и больше 1, то и показатели степеней должны быть равны: $3n_1-2 = 3n_2-2$. Отсюда следует, что $3n_1 = 3n_2$, и, следовательно, $n_1 = n_2$. Таким образом, разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений, и функция является инъективной.
2. Сюръективность (отображение "на"). По определению множества $M$, для любого его элемента $y$ существует такое натуральное число $n$, что $y = 6^{3n-2}$. Это означает, что для любого $y \in M$ найдётся такое $n \in \mathbb{N}$, что $f(n) = y$. Следовательно, функция является сюръективной.
Поскольку функция $f(n) = 6^{3n-2}$ является биекцией между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $M$, эти множества равномощны. По определению, множество, равномощное множеству натуральных чисел, является счётным.
Ответ: Множество чисел вида $6^{3n-2}$ ($n \in \mathbb{N}$) счётно, что и требовалось доказать.

2. Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). В данном случае нам нужно доказать равномощность множеств точек отрезков $AC$ и $BD$.
Координаты точек: $A(-4; 0)$, $C(-3; 0)$, $B(0; 1)$, $D(0; 9)$.
Представим точки на отрезках в параметрическом виде.
Любая точка $P$ на отрезке $AC$ может быть представлена как $P(t) = A + t(C - A)$, где параметр $t \in [0, 1]$.
$P(t) = (-4, 0) + t((-3, 0) - (-4, 0)) = (-4, 0) + t(1, 0) = (-4 + t, 0)$.
Таким образом, множество точек отрезка $AC$ — это $\{P(t) = (-4+t, 0) | t \in [0, 1]\}$.
Аналогично, любая точка $Q$ на отрезке $BD$ может быть представлена как $Q(s) = B + s(D - B)$, где параметр $s \in [0, 1]$.
$Q(s) = (0, 1) + s((0, 9) - (0, 1)) = (0, 1) + s(0, 8) = (0, 1+8s)$.
Таким образом, множество точек отрезка $BD$ — это $\{Q(s) = (0, 1+8s) | s \in [0, 1]\}$.
Теперь построим функцию $f$, которая сопоставляет каждой точке отрезка $AC$ единственную точку отрезка $BD$. Возьмём точку $P(t)$ с параметром $t$ на отрезке $AC$ и сопоставим ей точку $Q(t)$ с тем же параметром $t$ на отрезке $BD$.
$f(P(t)) = Q(t)$, то есть $f((-4+t, 0)) = (0, 1+8t)$, где $t \in [0, 1]$.
Докажем, что это отображение является биекцией.
1. Инъективность. Пусть $f(P(t_1)) = f(P(t_2))$. Это означает, что $(0, 1+8t_1) = (0, 1+8t_2)$. Отсюда $1+8t_1 = 1+8t_2$, что приводит к $t_1 = t_2$. Если параметры равны, то и исходные точки $P(t_1)$ и $P(t_2)$ совпадают. Следовательно, функция инъективна.
2. Сюръективность. Возьмем произвольную точку $Q_y = (0, y)$ на отрезке $BD$. Её вторая координата удовлетворяет условию $1 \le y \le 9$. Найдём для неё прообраз на отрезке $AC$, то есть такую точку $P(t)$, что $f(P(t)) = Q_y$.
$(0, 1+8t) = (0, y) \Rightarrow 1+8t = y \Rightarrow t = \frac{y-1}{8}$.
Проверим, принадлежит ли найденное значение $t$ отрезку $[0, 1]$. Поскольку $1 \le y \le 9$, то $0 \le y-1 \le 8$, и $0 \le \frac{y-1}{8} \le 1$. Таким образом, $t \in [0, 1]$. Это значит, что для любой точки на отрезке $BD$ существует соответствующая ей точка на отрезке $AC$. Следовательно, функция сюръективна.
Так как мы построили биекцию между множествами точек отрезков $AC$ и $BD$, эти множества равномощны.
Ответ: Множества точек отрезков $AC$ и $BD$ равномощны, что и требовалось доказать.