Номер 7, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 7, страница 69.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{4x + 7y}{xy} - \frac{4x - 5y}{xy} $

2) $ \frac{3x}{x^2 - 81} + \frac{27}{x^2 - 81} $

3) $ \frac{x^2 + 5x}{16 - x^2} - \frac{13x - 16}{16 - x^2} $

2. Упростите выражение:

1) $ \frac{x^3 - 68}{4 - x} - \frac{4}{x - 4} $

2) $ \frac{17 - 6x}{(x - 3)^2} - \frac{8 - x^2}{(3 - x)^2} $

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $ \frac{7x - 5}{(x - 2)^3} + \frac{x - 3}{(2 - x)^3} - \frac{10}{(x - 2)^3} $ принимает положительные значения.

4. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{16n - 3}{4n - 5} $

2) $ \frac{2n^2 + 6n - 13}{n + 5} $

Решение.

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{4x + 7y}{xy} - \frac{4x - 5y}{xy}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений:
$\frac{(4x + 7y) - (4x - 5y)}{xy} = \frac{4x + 7y - 4x + 5y}{xy} = \frac{(4x - 4x) + (7y + 5y)}{xy} = \frac{12y}{xy}$
Сокращаем полученную дробь на $y$:
$\frac{12y}{xy} = \frac{12}{x}$
Ответ: $\frac{12}{x}$

2) $\frac{3x}{x^2 - 81} + \frac{27}{x^2 - 81}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем числители:
$\frac{3x + 27}{x^2 - 81}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{3(x + 9)}{(x - 9)(x + 9)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x+9)$:
$\frac{3}{x - 9}$
Ответ: $\frac{3}{x - 9}$

3) $\frac{x^2 + 5x}{16 - x^2} - \frac{13x - 16}{16 - x^2}$
Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x^2 + 5x) - (13x - 16)}{16 - x^2} = \frac{x^2 + 5x - 13x + 16}{16 - x^2} = \frac{x^2 - 8x + 16}{16 - x^2}$
Числитель является полным квадратом $(x-4)^2$. Знаменатель является разностью квадратов $(4-x)(4+x)$.
$\frac{(x-4)^2}{(4-x)(4+x)}$
Заметим, что $(x-4)^2 = (-(4-x))^2 = (4-x)^2$. Подставим это в выражение:
$\frac{(4-x)^2}{(4-x)(4+x)}$
Сокращаем дробь на $(4-x)$:
$\frac{4-x}{4+x}$
Ответ: $\frac{4-x}{4+x}$

2. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3 - 68}{4 - x} - \frac{4}{x - 4}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x - 4 = -(4 - x)$.
$\frac{x^3 - 68}{4 - x} - \frac{4}{-(4 - x)} = \frac{x^3 - 68}{4 - x} + \frac{4}{4 - x}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{x^3 - 68 + 4}{4 - x} = \frac{x^3 - 64}{4 - x}$
Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$\frac{x^3 - 4^3}{4 - x} = \frac{(x-4)(x^2 + 4x + 16)}{4 - x}$
Так как $x - 4 = -(4 - x)$, сократим дробь:
$\frac{-(4-x)(x^2 + 4x + 16)}{4 - x} = -(x^2 + 4x + 16) = -x^2 - 4x - 16$
Ответ: $-x^2 - 4x - 16$

2) $\frac{17 - 6x}{(x - 3)^2} - \frac{8 - x^2}{(3 - x)^2}$
Заметим, что знаменатели равны, так как $(3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2$.
$\frac{17 - 6x}{(x - 3)^2} - \frac{8 - x^2}{(x - 3)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(17 - 6x) - (8 - x^2)}{(x - 3)^2} = \frac{17 - 6x - 8 + x^2}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 9}{(x - 3)^2}$
Числитель является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
$\frac{(x - 3)^2}{(x - 3)^2} = 1$
Ответ: 1

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $\frac{7x-5}{(x-2)^3} + \frac{x-3}{(2-x)^3} - \frac{10}{(x-2)^3}$ принимает положительные значения.

Сначала упростим данное выражение. Приведем дроби к общему знаменателю.
Заметим, что $(2-x)^3 = (-(x-2))^3 = -(x-2)^3$.
$\frac{7x-5}{(x-2)^3} + \frac{x-3}{-(x-2)^3} - \frac{10}{(x-2)^3} = \frac{7x-5}{(x-2)^3} - \frac{x-3}{(x-2)^3} - \frac{10}{(x-2)^3}$
Теперь выполним действия с числителями:
$\frac{(7x-5) - (x-3) - 10}{(x-2)^3} = \frac{7x - 5 - x + 3 - 10}{(x-2)^3} = \frac{6x - 12}{(x-2)^3}$
Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки:
$\frac{6(x-2)}{(x-2)^3}$
Сократим дробь на $(x-2)$:
$\frac{6}{(x-2)^2}$
Теперь докажем, что полученное выражение положительно при всех допустимых значениях $x$.
Допустимыми являются все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x \ne 2$.
Числитель дроби, 6, является положительным числом.
Знаменатель дроби, $(x-2)^2$, является квадратом выражения. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Так как $x \ne 2$, то $x-2 \ne 0$, и следовательно, $(x-2)^2 > 0$.
Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь принимает положительные значения при всех допустимых $x$.
Ответ: Выражение тождественно равно дроби $\frac{6}{(x-2)^2}$, которая положительна при всех допустимых $x \ne 2$, так как ее числитель и знаменатель положительны.

4. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{16n - 3}{4n - 5}$
Чтобы выражение было целым числом, выделим из дроби целую часть. Для этого преобразуем числитель:
$\frac{16n - 20 + 17}{4n - 5} = \frac{4(4n - 5) + 17}{4n - 5} = \frac{4(4n - 5)}{4n - 5} + \frac{17}{4n - 5} = 4 + \frac{17}{4n - 5}$
Значение исходного выражения будет целым, если дробь $\frac{17}{4n - 5}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $(4n-5)$ является делителем числителя 17.
Делители числа 17: $1, -1, 17, -17$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1. $4n - 5 = 1 \implies 4n = 6 \implies n = 1.5$. Не является натуральным числом.
2. $4n - 5 = -1 \implies 4n = 4 \implies n = 1$. Является натуральным числом.
3. $4n - 5 = 17 \implies 4n = 22 \implies n = 5.5$. Не является натуральным числом.
4. $4n - 5 = -17 \implies 4n = -12 \implies n = -3$. Не является натуральным числом.
Единственное натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию, это $n=1$.
Ответ: $n = 1$

2) $\frac{2n^2 + 6n - 13}{n + 5}$
Выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель столбиком:
$2n^2 + 6n - 13 = 2n(n+5) - 4n - 13 = 2n(n+5) - 4(n+5) + 20 - 13 = (2n-4)(n+5) + 7$
Тогда дробь можно переписать в виде:
$\frac{(2n-4)(n+5) + 7}{n + 5} = 2n - 4 + \frac{7}{n + 5}$
Поскольку $n$ - натуральное число, $2n-4$ всегда будет целым. Следовательно, значение всего выражения будет целым, если дробь $\frac{7}{n + 5}$ будет целым числом.
Это возможно, если знаменатель $(n+5)$ является делителем числителя 7.
Делители числа 7: $1, -1, 7, -7$.
Так как $n$ - натуральное число, то $n \ge 1$, а значит $n+5 \ge 6$.
Единственный делитель числа 7, который больше или равен 6, это 7.
Следовательно, $n+5 = 7 \implies n = 2$.
Это значение является натуральным.
Ответ: $n = 2$