Номер 14, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 14, страница 73.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Свойства степени с целым показателем

1. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями:

1) $x^{-9} \cdot x^{16};$

2) $y^{-7} : y^{-11};$

3) $(x^4y^{-3}z^{-5})^{-4};$

4) $(\frac{x^7}{y^3})^{-5} \cdot (\frac{x^{-6}}{y^{14}})^{-2}$

2. Найдите значение выражения:

1) $(17^{-12})^4 \cdot (17^{-6})^{-8};$

2) $\frac{(-64)^{-5} \cdot 4^{11}}{16^{-8} \cdot (-4)^9};$

3) $\frac{22^6 \cdot 2^{-5}}{242^{-3} \cdot 11^{12}}.$

3. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $7x^{-5} \cdot (-2x^3y^{-2})^{-2};$

2) $\frac{23x^{-12}}{7y^{-8}} \cdot \frac{35y^4}{69x^{-20}};$

3) $(\frac{9x^{-3}}{y^{-2}})^{-3} \cdot (27x^{-4}y^2).$

4. Постройте график функции $y = (x - 3)(\frac{x - 3}{x - 1})^{-1}.$

5. Упростите выражение:

1) $(x^{-4} + 3)(x^{-4} - 3) - (x^{-4} + 2)^2;$

2) $\frac{a^{-2} - 7b^{-6}}{2a^{-1}b^{-3} - 2b^{-6}} + \frac{3b^{-3}}{a^{-1} - b^{-3}}.$

Решение.

1) Для умножения степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^{-9} \cdot x^{16} = x^{-9+16} = x^7$.
Ответ: $x^7$.

2) Для деления степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$y^{-7} : y^{-11} = y^{-7 - (-11)} = y^{-7+11} = y^4$.
Ответ: $y^4$.

3) При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Используем правила $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(x^4 y^{-3} z^5)^{-4} = (x^4)^{-4} \cdot (y^{-3})^{-4} \cdot (z^5)^{-4} = x^{4 \cdot (-4)} y^{-3 \cdot (-4)} z^{5 \cdot (-4)} = x^{-16} y^{12} z^{-20}$.
Ответ: $x^{-16} y^{12} z^{-20}$.

4) Используем свойства возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(\frac{x^7}{y^3})^{-5} \cdot (\frac{x^{-6}}{y^{14}})^{-2} = \frac{(x^7)^{-5}}{(y^3)^{-5}} \cdot \frac{(x^{-6})^{-2}}{(y^{14})^{-2}} = \frac{x^{-35}}{y^{-15}} \cdot \frac{x^{12}}{y^{-28}} = \frac{x^{-35} \cdot x^{12}}{y^{-15} \cdot y^{-28}} = \frac{x^{-35+12}}{y^{-15-28}} = \frac{x^{-23}}{y^{-43}}$.
Ответ: $\frac{x^{-23}}{y^{-43}}$.

1) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(17^{-12})^4 \cdot (17^{-6})^{-8} = 17^{-12 \cdot 4} \cdot 17^{-6 \cdot (-8)} = 17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^{-48+48} = 17^0 = 1$.
Ответ: 1.

2) Представим все основания в виде степеней числа 4: $-64 = -4^3$, $16 = 4^2$.
$\frac{(-64)^{-5} \cdot 4^{11}}{16^{-8} \cdot (-4)^9} = \frac{(-(4^3))^{-5} \cdot 4^{11}}{(4^2)^{-8} \cdot (-4)^9} = \frac{(-1)^{-5} \cdot (4^3)^{-5} \cdot 4^{11}}{4^{-16} \cdot (-1)^9 \cdot 4^9} = \frac{-1 \cdot 4^{-15} \cdot 4^{11}}{4^{-16} \cdot (-1) \cdot 4^9} = \frac{-4^{-15+11}}{-4^{-16+9}} = \frac{-4^{-4}}{-4^{-7}} = 4^{-4 - (-7)} = 4^{-4+7} = 4^3 = 64$.
Ответ: 64.

3) Разложим основания на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$, $242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2$.
$\frac{22^6 \cdot 2^{-5}}{242^{-3} \cdot 11^{12}} = \frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-5}}{(2 \cdot 11^2)^{-3} \cdot 11^{12}} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-5}}{2^{-3} \cdot (11^2)^{-3} \cdot 11^{12}} = \frac{2^{6-5} \cdot 11^6}{2^{-3} \cdot 11^{-6} \cdot 11^{12}} = \frac{2^1 \cdot 11^6}{2^{-3} \cdot 11^{6}} = 2^{1-(-3)} \cdot 11^{6-6} = 2^4 \cdot 11^0 = 16 \cdot 1 = 16$.
Ответ: 16.

1) Применяем свойства степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$7x^{-5} \cdot (-2x^3y^{-2})^{-2} = 7x^{-5} \cdot (-2)^{-2} \cdot (x^3)^{-2} \cdot (y^{-2})^{-2} = 7x^{-5} \cdot \frac{1}{(-2)^2} \cdot x^{-6} \cdot y^4 = 7x^{-5} \cdot \frac{1}{4} x^{-6} y^4 = \frac{7}{4} x^{-5-6} y^4 = \frac{7}{4} x^{-11} y^4$.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{x^{11}} \cdot y^4 = \frac{7y^4}{4x^{11}}$.
Ответ: $\frac{7y^4}{4x^{11}}$.

2) Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные.
$\frac{23x^{-12}}{7y^{-8}} \cdot \frac{35y^4}{69x^{-20}} = \frac{23 \cdot 35}{7 \cdot 69} \cdot \frac{x^{-12}}{x^{-20}} \cdot \frac{y^4}{y^{-8}}$.
Сократим коэффициенты: $\frac{23 \cdot (5 \cdot 7)}{7 \cdot (3 \cdot 23)} = \frac{5}{3}$.
Упростим степени: $x^{-12 - (-20)} = x^{-12+20}=x^{8}$ и $y^{4 - (-8)} = y^{4+8}=y^{12}$.
Получаем: $\frac{5}{3} x^8 y^{12}$.
Ответ: $\frac{5}{3}x^8y^{12}$.

3) Упростим первый множитель: $(\frac{9x^{-3}}{y^{-2}})^{-3} = \frac{9^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3}}{(y^{-2})^{-3}} = \frac{(3^2)^{-3} \cdot x^9}{y^6} = \frac{3^{-6}x^9}{y^6}$.
Второй множитель: $27x^{-4}y^2 = 3^3 x^{-4} y^2$.
Перемножим результаты: $\frac{3^{-6}x^9}{y^6} \cdot (3^3 x^{-4} y^2) = (3^{-6} \cdot 3^3) \cdot (x^9 \cdot x^{-4}) \cdot (\frac{y^2}{y^6}) = 3^{-3} x^5 y^{-4}$.
Избавимся от отрицательных показателей: $\frac{1}{3^3} \cdot x^5 \cdot \frac{1}{y^4} = \frac{x^5}{27y^4}$.
Ответ: $\frac{x^5}{27y^4}$.

Сначала упростим выражение для функции $y$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
$y = (x-3) \left(\frac{x-3}{x-1}\right)^{-1} = (x-3) \cdot \frac{x-1}{x-3}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение не определено, если знаменатель равен нулю или если основание степени, возводимой в отрицательную степень, равно нулю.
1. Знаменатель дроби $\frac{x-3}{x-1}$ не равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
2. Основание степени $\frac{x-3}{x-1}$ не равно нулю: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
При $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на $(x-3)$ и получить $y = x-1$.
Таким образом, график функции — это прямая $y=x-1$ с двумя "выколотыми" (пустыми) точками, соответствующими значениям $x=1$ и $x=3$.
Найдем координаты этих точек:
При $x=1$, $y = 1-1 = 0$. Точка $(1; 0)$ выколота.
При $x=3$, $y = 3-1 = 2$. Точка $(3; 2)$ выколота.
Для построения прямой $y=x-1$ найдем две точки, принадлежащие ей, например $(0; -1)$ и $(2; 1)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-1$ с выколотыми точками $(1; 0)$ и $(3; 2)$.

1) Раскроем скобки. Первое произведение является разностью квадратов по формуле $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Второе выражение — квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(x^{-4} + 3)(x^{-4} - 3) - (x^{-4} + 2)^2 = ((x^{-4})^2 - 3^2) - ((x^{-4})^2 + 2 \cdot x^{-4} \cdot 2 + 2^2) = (x^{-8} - 9) - (x^{-8} + 4x^{-4} + 4)$.
Раскрываем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$x^{-8} - 9 - x^{-8} - 4x^{-4} - 4$.
Приводим подобные слагаемые:
$(x^{-8} - x^{-8}) - 4x^{-4} - 9 - 4 = -4x^{-4} - 13$.
Ответ: $-4x^{-4} - 13$.

2) Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби: $2a^{-1}b^{-3} - 2b^{-6} = 2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})$.
Общий знаменатель для двух дробей: $2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})$.
$\frac{a^{-2} - 7b^{-6}}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})} + \frac{3b^{-3}}{a^{-1} - b^{-3}} = \frac{a^{-2} - 7b^{-6}}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})} + \frac{3b^{-3} \cdot 2b^{-3}}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})} = \frac{a^{-2} - 7b^{-6} + 6b^{-6}}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})}$.
Упростим числитель: $a^{-2} - 7b^{-6} + 6b^{-6} = a^{-2} - b^{-6}$.
Получим дробь: $\frac{a^{-2} - b^{-6}}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})}$.
Числитель $a^{-2} - b^{-6}$ является разностью квадратов, так как $a^{-2} = (a^{-1})^2$ и $b^{-6} = (b^{-3})^2$: $a^{-2} - b^{-6} = (a^{-1} - b^{-3})(a^{-1} + b^{-3})$.
Подставим в дробь и сократим на $(a^{-1} - b^{-3})$:
$\frac{(a^{-1} - b^{-3})(a^{-1} + b^{-3})}{2b^{-3}(a^{-1} - b^{-3})} = \frac{a^{-1} + b^{-3}}{2b^{-3}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательных степеней, используя $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b^3}}{\frac{2}{b^3}} = \frac{\frac{b^3+a}{ab^3}}{\frac{2}{b^3}} = \frac{a+b^3}{ab^3} \cdot \frac{b^3}{2} = \frac{a+b^3}{2a}$.
Ответ: $\frac{a+b^3}{2a}$.