Номер 16, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 16, страница 75.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Делимость нацело и её свойства

1. Числа $c$ и $d$ таковы, что $c : 6$, $d : 9$. Докажите, что $(9c + 6d) : 54$.

2. Числа $a$ и $b$ таковы, что значение каждого из выражений $a + 15$ и $b - 31$ кратно 23. Докажите, что значение выражения $a - b$ кратно 23.

3. Решите в целых числах уравнение $2xy - 8x + y^2 - 4y = 13$.

4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + \ldots + 18^n$ кратно 19.

Решение.

1.

По условию, число $c$ делится нацело на $6$, а число $d$ делится нацело на $9$. Это можно записать в виде $c = 6k$ и $d = 9m$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Подставим эти выражения в $9c + 6d$:

$9c + 6d = 9(6k) + 6(9m)$

Выполним умножение:

$9(6k) + 6(9m) = 54k + 54m$

Вынесем общий множитель $54$ за скобки:

$54k + 54m = 54(k+m)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Выражение $54(k+m)$ представляет собой произведение числа $54$ и целого числа, следовательно, оно делится на $54$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2.

Из условия известно, что выражения $a+15$ и $b-31$ кратны $23$.

Согласно свойствам делимости, если два числа делятся на некоторое число, то и их разность делится на это же число. Рассмотрим разность данных выражений:

$(a+15) - (b-31) = a + 15 - b + 31 = a - b + 46$

Эта разность, $(a - b + 46)$, должна быть кратна $23$.

Заметим, что число $46$ также кратно $23$, так как $46 = 2 \cdot 23$.

Теперь мы имеем выражение $(a-b) + 46$, которое кратно $23$, и одно из его слагаемых, $46$, также кратно $23$. По свойству делимости, если сумма двух слагаемых и одно из них делятся на некоторое число, то и второе слагаемое также должно делиться на это число.

Следовательно, выражение $(a-b)$ должно быть кратно $23$.

Ответ: Доказано.

3.

Дано уравнение $2xy - 8x + y^2 - 4y = 13$. Для решения в целых числах преобразуем левую часть, разложив её на множители.

Сгруппируем слагаемые:

$(2xy + y^2) - (8x + 4y) = 13$

Это неверная группировка. Правильная группировка:

$(2xy - 8x) + (y^2 - 4y) = 13$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$2x(y - 4) + y(y - 4) = 13$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y - 4)$:

$(y-4)(2x+y) = 13$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то множители $(y-4)$ и $(2x+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно $13$. Число $13$ — простое, поэтому его целыми делителями являются только $1, -1, 13, -13$. Рассмотрим все возможные пары целочисленных множителей:

Случай 1:

$y-4=1$ и $2x+y=13$.

Из первого уравнения $y=5$. Подставив во второе: $2x+5=13 \implies 2x=8 \implies x=4$.

Получаем пару $(4, 5)$.

Случай 2:

$y-4=13$ и $2x+y=1$.

Из первого уравнения $y=17$. Подставив во второе: $2x+17=1 \implies 2x=-16 \implies x=-8$.

Получаем пару $(-8, 17)$.

Случай 3:

$y-4=-1$ и $2x+y=-13$.

Из первого уравнения $y=3$. Подставив во второе: $2x+3=-13 \implies 2x=-16 \implies x=-8$.

Получаем пару $(-8, 3)$.

Случай 4:

$y-4=-13$ и $2x+y=-1$.

Из первого уравнения $y=-9$. Подставив во второе: $2x-9=-1 \implies 2x=8 \implies x=4$.

Получаем пару $(4, -9)$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-8, 17)$, $(-8, 3)$, $(4, -9)$.

4.

Требуется доказать, что сумма $S = 1^n + 2^n + \dots + 18^n$ делится на $19$ для любого нечётного натурального числа $n$.

Сгруппируем слагаемые в сумме попарно: первое с последним, второе с предпоследним, и так далее.

$S = (1^n + 18^n) + (2^n + 17^n) + \dots + (9^n + 10^n)$

Всего в сумме $18$ слагаемых, которые образуют $9$ таких пар.

Для нечётных значений $n$ справедлива формула суммы степеней: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots - ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Применим эту формулу для каждой пары. Сумма оснований в каждой паре равна $19$:

$1+18 = 19$

$2+17 = 19$

...

$9+10 = 19$

Таким образом, каждая пара может быть представлена в виде:

$k^n + (19-k)^n = (k + 19-k)(\dots) = 19 \cdot (\text{некоторое целое число})$

Это означает, что каждая из 9 пар в сумме $S$ делится на $19$.

$1^n + 18^n = (1+18)(\dots)$ кратно $19$.

$2^n + 17^n = (2+17)(\dots)$ кратно $19$.

...

$9^n + 10^n = (9+10)(\dots)$ кратно $19$.

Поскольку каждое слагаемое (каждая пара) в сумме $S$ делится на $19$, то и вся сумма $S$ делится на $19$.

Ответ: Доказано.