Номер 18, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 18, страница 76.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел.

Взаимно простые числа

1. Используя алгоритм Евклида, найдите $\text{НОД}(2093; 2717)$.

2. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) $\text{НОД}(n; 5n + 1) = 1$;

2) $\text{НОД}(2n; 12n + 2) = 2$.

3. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $\text{НОК}(a; b) = 49$. Найдите $a$ и $b$.

4. Какие значения может принимать $\text{НОД}(a; b)$, если $a = 3n + 9$, $b = 3n + 14$, $n \in N$?

Решение.

1. Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 2093 и 2717 используем алгоритм Евклида. Алгоритм заключается в последовательном делении большего числа на меньшее и замене большего числа на остаток от деления, пока остаток не станет равен нулю.

Шаг 1: Делим 2717 на 2093.
$2717 = 1 \cdot 2093 + 624$

Шаг 2: Делим 2093 на 624.
$2093 = 3 \cdot 624 + 221$

Шаг 3: Делим 624 на 221.
$624 = 2 \cdot 221 + 182$

Шаг 4: Делим 221 на 182.
$221 = 1 \cdot 182 + 39$

Шаг 5: Делим 182 на 39.
$182 = 4 \cdot 39 + 26$

Шаг 6: Делим 39 на 26.
$39 = 1 \cdot 26 + 13$

Шаг 7: Делим 26 на 13.
$26 = 2 \cdot 13 + 0$

Последний ненулевой остаток равен 13. Это и есть наибольший общий делитель.

Ответ: НОД(2093; 2717) = 13.

2.

1) Докажем, что $НОД(n; 5n + 1) = 1$ для любого натурального числа $n \in N$.
Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $НОД(a; b) = НОД(a; b - k \cdot a)$ для любого целого $k$.
Пусть $d = НОД(n; 5n + 1)$. По определению, $d$ делит $n$ и $d$ делит $5n + 1$.
Если $d$ делит $n$, то он делит и любое число, кратное $n$, в частности $5n$.
Поскольку $d$ делит и $5n + 1$, и $5n$, он должен делить и их разность: $(5n + 1) - 5n = 1$.
Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1.
Следовательно, $d = 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $НОД(n; 5n + 1) = 1$.

2) Докажем, что $НОД(2n; 12n + 2) = 2$ для любого натурального числа $n \in N$.
Применим то же свойство НОД: $НОД(a; b) = НОД(a; b - k \cdot a)$.
В нашем случае $a = 2n$, $b = 12n + 2$. Возьмем $k=6$, так как $12n = 6 \cdot (2n)$.
$НОД(2n; 12n + 2) = НОД(2n; (12n + 2) - 6 \cdot (2n)) = НОД(2n; 2)$.
Число $2n$ при любом натуральном $n$ является четным, то есть делится на 2. Число 2 также делится на 2.
Следовательно, 2 является их общим делителем. Поскольку 2 является наибольшим возможным делителем для числа 2, то он и будет их наибольшим общим делителем.
Таким образом, $НОД(2n; 2) = 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $НОД(2n; 12n + 2) = 2$.

3. Дано, что наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ равно 49. Это записывается как $НОК(a; b) = 49$.

По определению НОК, числа $a$ и $b$ должны быть делителями 49. Разложим 49 на простые множители: $49 = 7^2$. Натуральные делители числа 49: $1=7^0$, $7=7^1$, $49=7^2$.

Пусть каноническое разложение чисел $a$ и $b$ на простые множители имеет вид $a = 7^x$ и $b = 7^y$, где $x, y \in \{0, 1, 2\}$.
Формула для НОК через степени простых множителей: $НОК(a; b) = 7^{\max(x, y)}$.
По условию, $НОК(a; b) = 49 = 7^2$, следовательно, $\max(x, y) = 2$.

Это условие выполняется, если хотя бы один из показателей, $x$ или $y$, равен 2.
1. Пусть $x = 2$, то есть $a = 7^2 = 49$. Тогда $y$ может быть равен 0, 1 или 2.
- Если $y=0$, то $b=7^0=1$. Пара: (49, 1).
- Если $y=1$, то $b=7^1=7$. Пара: (49, 7).
- Если $y=2$, то $b=7^2=49$. Пара: (49, 49).
2. Пусть $y = 2$, то есть $b = 7^2 = 49$. Тогда $x$ может быть равен 0, 1 или 2. Случаи, когда $x \ne 2$ (так как $x=2$ уже рассмотрен):
- Если $x=0$, то $a=7^0=1$. Пара: (1, 49).
- Если $x=1$, то $a=7^1=7$. Пара: (7, 49).

Собрав все варианты, получаем полный список возможных пар $(a, b)$.

Ответ: (1, 49), (49, 1), (7, 49), (49, 7), (49, 49).

4. Требуется найти все возможные значения $НОД(a; b)$, где $a = 3n + 9$ и $b = 3n + 14$ для $n \in N$.

Воспользуемся свойством НОД: $НОД(x; y) = НОД(x; y - x)$.
$НОД(3n + 9; 3n + 14) = НОД(3n + 9; (3n + 14) - (3n + 9)) = НОД(3n + 9; 5)$.

Из полученного равенства следует, что искомый НОД является общим делителем чисел $3n+9$ и 5, а значит, он является делителем числа 5. Натуральными делителями числа 5 являются только 1 и 5. Значит, $НОД(a;b)$ может быть равен либо 1, либо 5.

Проверим, достигаются ли эти значения при натуральных $n$.
1. Может ли НОД быть равен 5?
Это возможно, если $3n+9$ делится на 5.
$3n + 9 \equiv 0 \pmod{5} \implies 3n \equiv -9 \pmod{5} \implies 3n \equiv 1 \pmod{5}$.
Умножим обе части на 2, так как $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$: $2 \cdot 3n \equiv 2 \cdot 1 \pmod{5} \implies n \equiv 2 \pmod{5}$.
Это означает, что $n$ при делении на 5 дает в остатке 2. Например, возьмем натуральное число $n=2$.
При $n=2$: $a = 3(2) + 9 = 15$, $b = 3(2) + 14 = 20$. $НОД(15; 20) = 5$. Значение 5 возможно.
2. Может ли НОД быть равен 1?
Это возможно, если $3n+9$ не делится на 5. Это произойдет, если $n$ при делении на 5 не дает в остатке 2.
Например, возьмем натуральное число $n=1$.
При $n=1$: $a = 3(1) + 9 = 12$, $b = 3(1) + 14 = 17$. $НОД(12; 17) = 1$. Значение 1 возможно.

Следовательно, НОД может принимать два значения: 1 и 5.

Ответ: 1, 5.