Номер 20, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 20, страница 76.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Простые и составные числа

1. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n + 17$ являются простыми.

2. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $n^2 + 2n - 8$ является простым числом.

3. Укажите все нечётные значения $n$, при которых значение выражения $12^n + 1$ является составным числом.

4. Натуральное число $n$ таково, что числа $n + 7$ и $n + 34$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите число $p$.

Решение.

1. По условию, числа $n$ и $n+17$ являются простыми. Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа — нечётные.
Рассмотрим два случая:
1) Пусть $n$ — нечётное простое число ($n \ge 3$). Тогда $n+17$ будет суммой двух нечётных чисел, что даёт в результате чётное число. Так как $n \ge 3$, то $n+17 \ge 3+17=20$. Любое чётное число, большее 2, является составным, поэтому $n+17$ не может быть простым.
2) Пусть $n$ — чётное простое число. Единственное такое число — это $n=2$. Проверим это значение. Если $n=2$, то само число $n$ является простым. Число $n+17 = 2+17=19$. Число 19 также является простым.
Таким образом, единственное натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию, это $n=2$.

Ответ: 2.

2. Требуется найти все натуральные $n$, при которых выражение $n^2 + 2n - 8$ является простым числом. Разложим данный квадратный трёхчлен на множители. Для этого найдём корни уравнения $n^2 + 2n - 8 = 0$. По теореме Виета, $n_1 + n_2 = -2$ и $n_1 \cdot n_2 = -8$. Корнями являются числа -4 и 2.
Следовательно, выражение можно разложить на множители: $n^2 + 2n - 8 = (n-2)(n+4)$.
Простое число $p$ по определению имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя, $p$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$, множитель $n+4 \ge 1+4=5$. Это натуральное число.
Чтобы произведение $(n-2)(n+4)$ было простым числом, оно должно быть положительным. Так как $n+4$ всегда положительно, то и множитель $n-2$ должен быть положительным, то есть $n-2 > 0$, откуда $n > 2$.
Так как $n>2$, оба множителя $(n-2)$ и $(n+4)$ являются натуральными числами. Для того чтобы их произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу. Сравним множители: так как $n > 2$, то $n+4 > n-2$. Значит, меньший множитель должен быть равен 1.
$n-2 = 1$
$n = 3$
Проверим это значение. При $n=3$ выражение равно $(3-2)(3+4) = 1 \cdot 7 = 7$. Число 7 является простым.

Ответ: 3.

3. Необходимо найти все нечётные значения $n$, при которых выражение $12^n + 1$ является составным числом.
Воспользуемся формулой суммы степеней для нечётного показателя: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ при нечётном $n$.
Представим наше выражение как $12^n + 1^n$. Так как $n$ — нечётное число, мы можем применить эту формулу:
$12^n + 1 = (12+1)(12^{n-1} - 12^{n-2} \cdot 1 + 12^{n-3} \cdot 1^2 - \dots + 1^{n-1}) = 13 \cdot (12^{n-1} - 12^{n-2} + \dots + 1)$.
Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Мы видим, что число $12^n + 1$ делится на 13.
Чтобы число $12^n+1$ было составным, оно должно быть больше 13. Это эквивалентно тому, что второй множитель в разложении должен быть больше 1.
Рассмотрим второй множитель: $K = 12^{n-1} - 12^{n-2} + \dots - 12 + 1$.
Если $n=1$ (нечётное), то $12^1 + 1 = 13$. Число 13 является простым, а не составным.
Если $n$ — любое нечётное число больше 1 (например, 3, 5, 7, ...), то $n \ge 3$. Тогда второй множитель $K$ будет целым числом. Проверим, больше ли он 1.
При $n=3$, $K = 12^2 - 12^1 + 1 = 144 - 12 + 1 = 133$. $133 > 1$. Значит, $12^3+1 = 13 \cdot 133$, что является составным числом.
В общем случае для нечётного $n>1$: $K = (12^{n-1} - 12^{n-2}) + (12^{n-3} - 12^{n-4}) + \dots + (12^2 - 12^1) + 1$. Каждая скобка содержит положительное число ($12^{k} - 12^{k-1} = 12^{k-1}(12-1) > 0$), поэтому вся сумма $K$ будет больше 1.
Следовательно, для любого нечётного натурального $n > 1$, число $12^n+1$ делится на 13 и на число $K>1$, а значит, является составным.
Таким образом, подходят все нечётные натуральные числа, кроме 1.

Ответ: все нечётные натуральные числа $n>1$.

4. По условию, числа $n+7$ и $n+34$ делятся нацело на простое число $p$.
Это означает, что $n+7 = k \cdot p$ и $n+34 = m \cdot p$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.
Воспользуемся свойством делимости: если два числа делятся на некоторое число, то их разность также делится на это число.
Вычтем из второго числа первое: $(n+34) - (n+7) = m \cdot p - k \cdot p$.
$n+34-n-7 = (m-k) \cdot p$
$27 = (m-k) \cdot p$
Из этого равенства следует, что число 27 делится нацело на $p$.
Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть одним из простых делителей числа 27.
Найдём простые делители числа 27. Разложим 27 на простые множители: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Единственным простым делителем числа 27 является число 3.
Следовательно, $p=3$.

Ответ: 3.