Номер 26, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 26, страница 79.

Условие.

Самостоятельная работа № 26

Функция $y = x^2$ и её график

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 6x - 5$;

2) $x^2 - x + 4 = 0$.

2. Определите графически количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y - 3x - 7 = 0 \end{cases}$

3. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge -1 \\ x + 2, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

2) $y = \frac{x^3 + x^2}{x+1}$.

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(x - 2) = 0$;

2) $(y - x^2)^2 + (x - 2)^2 = 0$.

Решение.

1.

1) Чтобы решить графически уравнение $x^2 = 6x - 5$, необходимо построить графики функций $y = x^2$ и $y = 6x - 5$ в одной системе координат и найти абсциссы точек их пересечения.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх.

График функции $y = 6x - 5$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек:

• При $x=1$, $y = 6 \cdot 1 - 5 = 1$. Точка (1, 1).
• При $x=0$, $y = 6 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка (0, -5).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — (1, 1) и (5, 25). Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $1; 5$.

2) Чтобы решить графически уравнение $x^2 - x + 4 = 0$, преобразуем его к виду $x^2 = x - 4$. Теперь построим графики функций $y = x^2$ и $y = x - 4$ в одной системе координат.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке (0, 0).

График функции $y = x - 4$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек:

• При $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
• При $x=4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка (4, 0).

Построив графики, мы видим, что парабола $y = x^2$ и прямая $y = x - 4$ не пересекаются. Это означает, что исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

2.

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2, \\ y - 3x - 7 = 0. \end{cases} $$

Перепишем второе уравнение в виде $y = 3x + 7$.

График первого уравнения, $y = x^2$, — это парабола с вершиной в начале координат.

График второго уравнения, $y = 3x + 7$, — это прямая. Найдём две точки для её построения:

• При $x=0$, $y = 3 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка (0, 7).
• При $x=-1$, $y = 3 \cdot (-1) + 7 = 4$. Точка (-1, 4).

При построении графиков видно, что прямая пересекает параболу в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

3.

1) Дана кусочно-заданная функция:

$$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge -1 \\ x + 2, & \text{если } x < -1 \end{cases} $$

График этой функции состоит из двух частей.

Первая часть — это график функции $y = x^2$ (парабола) на промежутке $x \ge -1$. Найдём значение на границе: при $x=-1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка (-1, 1) принадлежит этому участку графика.

Вторая часть — это график функции $y = x + 2$ (прямая) на промежутке $x < -1$. Найдём значение на границе: при $x=-1$, $y = -1 + 2 = 1$. Точка (-1, 1) не принадлежит этому участку (она является "выколотой" для этой части), но совпадает с конечной точкой первой части, поэтому график является непрерывным. Для построения прямой возьмём ещё одну точку, например, $x=-3$: $y = -3 + 2 = -1$. Точка (-3, -1).

Ответ: Графиком является часть параболы $y=x^2$ для всех $x \ge -1$ и луч прямой $y=x+2$ для всех $x < -1$. Эти две части соединяются в точке (-1, 1).

2) Дана функция $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$.

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \ne 0$, откуда $x \ne -1$.

Упростим выражение для функции, вынеся общий множитель в числителе:

$$ y = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1} $$

При $x \ne -1$ мы можем сократить дробь, получив $y = x^2$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x^2$ во всех точках, кроме $x = -1$. В точке $x = -1$ функция не определена, поэтому на графике будет "выколотая" точка (разрыв). Найдём её координаты, подставив $x = -1$ в упрощённую функцию: $y = (-1)^2 = 1$.

Ответ: Графиком является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой в (-1, 1).

4.

1) Дано уравнение $(y - x^2)(x - 2) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$$ y - x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0 $$

$$ y = x^2 \quad \text{или} \quad x = 2 $$

График первого уравнения, $y = x^2$, — это парабола с вершиной в начале координат.

График второго уравнения, $x = 2$, — это вертикальная прямая, проходящая через точку (2, 0).

График исходного уравнения является объединением этих двух графиков.

Ответ: График состоит из параболы $y=x^2$ и вертикальной прямой $x=2$.

2) Дано уравнение $(y - x^2)^2 + (x - 2)^2 = 0$.

Выражения $(y - x^2)^2$ и $(x - 2)^2$ являются квадратами, поэтому они всегда неотрицательны (больше или равны нулю). Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения одновременно равны нулю.

Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} (y - x^2)^2 = 0, \\ (x - 2)^2 = 0. \end{cases} $$

Извлекая квадратный корень из обоих частей каждого уравнения, получаем:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - 2 = 0. \end{cases} $$

Из второго уравнения находим $x = 2$. Подставляем это значение в первое уравнение: $y - 2^2 = 0$, откуда $y - 4 = 0$, то есть $y = 4$.

Система имеет единственное решение $(2, 4)$. Поэтому график исходного уравнения состоит из одной-единственной точки.

Ответ: Графиком является точка с координатами (2, 4).