Номер 31, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 31, страница 82.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{11x^2}$, если $x \le 0$;

2) $\sqrt{-y^{23}};$

3) $\sqrt{x^5y^{12}}$, если $y \ne 0$;

4) $\sqrt{600x^{10}y^5}$, если $x < 0$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$;

2) $b^9\sqrt{-b}$;

3) $(y-5)\sqrt{\frac{1}{15-3y}}$.

3. Упростите выражение:

1) $\frac{x+y}{\sqrt{xy}+y} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}};$

2) $\left(\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+6} + \frac{24\sqrt{x}}{x-36}\right) : \frac{\sqrt{x}+6}{6\sqrt{x}-x}$.

4. Известно, что $\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=2$. Найдите значение выражения $\sqrt{(x+3)(5-x)}$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{23+8\sqrt{7}};$

2) $\sqrt{a+8\sqrt{a-16}}$.

Решение.

1.1) $\sqrt{11x^2} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{11} \cdot |x|$. По условию $x \le 0$, поэтому $|x| = -x$. Таким образом, $\sqrt{11x^2} = \sqrt{11} \cdot (-x) = -x\sqrt{11}$.

Ответ: $-x\sqrt{11}$

1.2) Для существования корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-y^{23} \ge 0$, откуда $y^{23} \le 0$, что означает $y \le 0$. Представим выражение как $\sqrt{-y^{23}} = \sqrt{y^{22} \cdot (-y)} = \sqrt{(y^{11})^2 \cdot (-y)} = |y^{11}|\sqrt{-y}$. Так как $y \le 0$, то $y^{11} \le 0$, и, следовательно, $|y^{11}| = -y^{11}$. В итоге получаем $-y^{11}\sqrt{-y}$.

Ответ: $-y^{11}\sqrt{-y}$

1.3) Подкоренное выражение $x^5y^{12}$ должно быть неотрицательным. Поскольку $y^{12} = (y^6)^2 \ge 0$ (и $y^{12} > 0$ при $y \neq 0$), то необходимо, чтобы $x^5 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Тогда $\sqrt{x^5y^{12}} = \sqrt{x^4 \cdot x \cdot y^{12}} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot (y^6)^2 \cdot x} = |x^2||y^6|\sqrt{x} = x^2y^6\sqrt{x}$.

Ответ: $x^2y^6\sqrt{x}$

1.4) Подкоренное выражение $600x^{10}y^5$ должно быть неотрицательным. Так как $600 > 0$ и $x^{10} = (x^5)^2 \ge 0$ (и $x^{10} > 0$ при $x < 0$), необходимо, чтобы $y^5 \ge 0$, то есть $y \ge 0$. Тогда $\sqrt{600x^{10}y^5} = \sqrt{100 \cdot 6 \cdot x^{10} \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt{10^2(x^5)^2(y^2)^2 \cdot 6y} = 10|x^5||y^2|\sqrt{6y}$. По условию $x < 0$, поэтому $x^5 < 0$ и $|x^5|=-x^5$. Также $|y^2|=y^2$. В результате получаем $10(-x^5)y^2\sqrt{6y} = -10x^5y^2\sqrt{6y}$.

Ответ: $-10x^5y^2\sqrt{6y}$

2.1) Если $m \ge 0$, то $m = \sqrt{m^2}$, и $m\sqrt{7} = \sqrt{m^2}\sqrt{7} = \sqrt{7m^2}$. Если $m < 0$, то $m = -\sqrt{m^2}$, и $m\sqrt{7} = -\sqrt{m^2}\sqrt{7} = -\sqrt{7m^2}$.

Ответ: $\sqrt{7m^2}$, если $m \ge 0$; $-\sqrt{7m^2}$, если $m < 0$.

2.2) Выражение $\sqrt{-b}$ определено при $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$. Если $b < 0$, то множитель $b^9$ отрицателен, так как 9 - нечетная степень. Внося отрицательный множитель под знак корня, мы ставим знак "минус" перед корнем: $b^9\sqrt{-b} = -(-b^9)\sqrt{-b} = -\sqrt{(-b^9)^2}\sqrt{-b} = -\sqrt{(b^9)^2(-b)} = -\sqrt{b^{18}(-b)} = -\sqrt{-b^{19}}$.

Ответ: $-\sqrt{-b^{19}}$

2.3) Выражение определено при $15-3y > 0$, то есть $y < 5$. При этом условии множитель $(y-5)$ отрицателен. Внося его под корень, ставим знак "минус" перед корнем и меняем знак множителя на противоположный: $(y-5)\sqrt{\frac{1}{15-3y}} = -(5-y)\sqrt{\frac{1}{3(5-y)}} = -\sqrt{(5-y)^2 \cdot \frac{1}{3(5-y)}} = -\sqrt{\frac{5-y}{3}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{5-y}{3}}$

3.1) Область допустимых значений: $x \ge 0, y > 0$. Преобразуем знаменатель первой дроби: $\sqrt{xy}+y = \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$: $\frac{x+y}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} + \frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$. Числитель является полным квадратом $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$. Получаем $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

3.2) Область допустимых значений: $x > 0, x \ne 36$. Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x-36 = (\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)$: $\frac{(\sqrt{x}-6)^2}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)} + \frac{24\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)} = \frac{x-12\sqrt{x}+36+24\sqrt{x}}{x-36} = \frac{x+12\sqrt{x}+36}{x-36} = \frac{(\sqrt{x}+6)^2}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)} = \frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-6}$. Теперь выполним деление: $\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-6} : \frac{\sqrt{x}+6}{6\sqrt{x}-x} = \frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-6} \cdot \frac{6\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+6} = \frac{6\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-6} = \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)}{\sqrt{x}-6} = -\sqrt{x}$.

Ответ: $-\sqrt{x}$

4. Сначала найдем значение $x$ из данного уравнения $\sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} = 2$. Область допустимых значений для $x$: $3 \le x \le 5$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x-3} + \sqrt{5-x})^2 = 4$, что дает $(x-3) + 2\sqrt{(x-3)(5-x)} + (5-x) = 4$. Упрощаем: $2 + 2\sqrt{(x-3)(5-x)} = 4$, откуда $\sqrt{(x-3)(5-x)} = 1$. Снова возводим в квадрат: $(x-3)(5-x) = 1$, что приводит к квадратному уравнению $-x^2+8x-15 = 1$, или $x^2-8x+16=0$. Это уравнение является полным квадратом $(x-4)^2=0$, откуда $x=4$. Это значение удовлетворяет ОДЗ. Теперь подставим $x=4$ в искомое выражение: $\sqrt{(x+3)(5-x)} = \sqrt{(4+3)(5-4)} = \sqrt{7 \cdot 1} = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$

5.1) Воспользуемся формулой извлечения корня из сложного радикала $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, где $a+b=A$ и $ab=B$. Преобразуем данное выражение: $\sqrt{23+8\sqrt{7}} = \sqrt{23+2 \cdot 4\sqrt{7}} = \sqrt{23+2\sqrt{16 \cdot 7}} = \sqrt{23+2\sqrt{112}}$. Здесь $A=23$, $B=112$. Нам нужно найти два числа $a$ и $b$ такие, что их сумма равна 23, а произведение равно 112. Это числа 16 и 7. Таким образом, $\sqrt{23+2\sqrt{112}} = \sqrt{16}+\sqrt{7} = 4+\sqrt{7}$.

Ответ: $4+\sqrt{7}$

5.2) Область определения: $a-16 \ge 0$, т.е. $a \ge 16$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $a+8\sqrt{a-16} = (a-16) + 16 + 8\sqrt{a-16} = (\sqrt{a-16})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{a-16} + 4^2 = (4+\sqrt{a-16})^2$. Тогда $\sqrt{a+8\sqrt{a-16}} = \sqrt{(4+\sqrt{a-16})^2} = |4+\sqrt{a-16}| = 4+\sqrt{a-16}$, так как выражение под модулем всегда положительно при $a \ge 16$.

Ответ: $4+\sqrt{a-16}$