Номер 38, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 38, страница 85.

Условие.

Самостоятельная работа № 38

Решение уравнений методом замены переменной

1. Решите уравнение:

1) $x^4 - 13x^2 - 48 = 0;$

2) $(x + 3)^4 - 26(x + 3)^2 + 25 = 0.$

2. Решите уравнение $(x^2 - 2x + 3)^2 - 17x^2 + 34x + 15 = 0.$

3. Решите уравнение $\frac{1}{(x - 2)(x + 4)} + \frac{3}{x(x + 2)} = \frac{4}{5}.$

4. Решите уравнение $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 14.$

Решение.

1)

Данное уравнение $x^4 - 13x^2 - 48 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 13t - 48 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 169 + 192 = 361$.
Так как $\sqrt{361} = 19$, корни для $t$ равны:
$t_1 = \frac{13 + 19}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$t_2 = \frac{13 - 19}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 16$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию, следовательно, является посторонним.

Выполним обратную замену для $t=16$:
$x^2 = 16$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$

Ответ: $-4; 4$.

2)

Рассмотрим уравнение $(x+3)^4 - 26(x+3)^2 + 25 = 0$.

Это уравнение также является биквадратным относительно выражения $(x+3)$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = (x+3)^2$. Учитывая, что квадрат выражения не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

После подстановки уравнение примет вид:
$y^2 - 26y + 25 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко найти по теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 26$
$y_1 \cdot y_2 = 25$
Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = 25$.

Оба значения $y$ положительны, значит, оба удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1. При $y=1$:
$(x+3)^2 = 1$
$x+3 = 1$ или $x+3 = -1$
$x_1 = -2$
$x_2 = -4$

2. При $y=25$:
$(x+3)^2 = 25$
$x+3 = 5$ или $x+3 = -5$
$x_3 = 2$
$x_4 = -8$

Ответ: $-8; -4; -2; 2$.

2.

Дано уравнение $(x^2 - 2x + 3)^2 - 17x^2 + 34x + 15 = 0$.

Заметим, что часть уравнения $-17x^2 + 34x$ можно преобразовать, вынеся за скобки $-17$:
$-17x^2 + 34x = -17(x^2 - 2x)$.
Тогда уравнение можно переписать в виде, удобном для замены:
$(x^2 - 2x + 3)^2 - 17(x^2 - 2x) + 15 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 2x + 3$. Тогда $x^2 - 2x = t - 3$.

Подставим это в уравнение:
$t^2 - 17(t - 3) + 15 = 0$
$t^2 - 17t + 51 + 15 = 0$
$t^2 - 17t + 66 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 17$
$t_1 \cdot t_2 = 66$
Отсюда $t_1 = 6$ и $t_2 = 11$.

Выполним обратную замену.
1. При $t=6$:
$x^2 - 2x + 3 = 6$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2. При $t=11$:
$x^2 - 2x + 3 = 11$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 4$, $x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 3; 4$.

3.

Дано уравнение $\frac{1}{(x-2)(x+4)} + \frac{3}{x(x+2)} = \frac{4}{5}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$(x-2)(x+4) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -4$
$x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -2$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -2, 0, 2\}$.

Раскроем скобки в знаменателях: $x^2 + 2x - 8$ и $x^2 + 2x$. Видим общий элемент, что позволяет сделать замену.
Уравнение приобретает вид: $\frac{1}{x^2 + 2x - 8} + \frac{3}{x^2 + 2x} = \frac{4}{5}$.

Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение преобразуется к виду:
$\frac{1}{t - 8} + \frac{3}{t} = \frac{4}{5}$.

Решим это рациональное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{t + 3(t-8)}{t(t-8)} = \frac{4}{5}$
$\frac{4t - 24}{t^2 - 8t} = \frac{4}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции:
$5(4t - 24) = 4(t^2 - 8t)$
$20t - 120 = 4t^2 - 32t$
$4t^2 - 52t + 120 = 0$

Разделим обе части на 4, чтобы упростить уравнение:
$t^2 - 13t + 30 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = 10$.

Выполним обратную замену.
1. При $t=3$:
$x^2 + 2x = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня входят в ОДЗ.

2. При $t=10$:
$x^2 + 2x = 10 \implies x^2 + 2x - 10 = 0$
Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(-10) = 4 + 40 = 44$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
Оба корня ($x_3 = -1 + \sqrt{11}$, $x_4 = -1 - \sqrt{11}$) входят в ОДЗ.

Ответ: $-3; 1; -1 - \sqrt{11}; -1 + \sqrt{11}$.

4.

Дано уравнение $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 14$.

ОДЗ: $x \neq 0$. Это симметрическое уравнение, которое решается с помощью специальной замены.

Введем замену $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:
$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$4(t^2 - 2) + 3t = 14$
$4t^2 - 8 + 3t - 14 = 0$
$4t^2 + 3t - 22 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22) = 9 + 352 = 361 = 19^2$
$t_1 = \frac{-3 + 19}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$t_2 = \frac{-3 - 19}{8} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4}$

Выполним обратную замену.
1. При $t=2$:
$x + \frac{1}{x} = 2$
Умножив на $x \neq 0$, получим: $x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0$.
Отсюда $x_1 = 1$.

2. При $t = -\frac{11}{4}$:
$x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{4}$
Умножив на $4x \neq 0$, получим: $4x^2 + 4 = -11x \implies 4x^2 + 11x + 4 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57$.
Корни: $x = \frac{-11 \pm \sqrt{57}}{8}$.

Ответ: $1; \frac{-11 - \sqrt{57}}{8}; \frac{-11 + \sqrt{57}}{8}$.