Номер 39, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 39, страница 86.

Условие.

Самостоятельная работа № 39

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

1. Автомобиль должен был проехать 420 км. Проехав $\frac{4}{7}$ этого расстояния, автомобиль увеличил свою скорость на 10 км/ч. Найдите скорость автомобиля на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 5 ч.

2. Две бригады, работая вместе, отремонтировали участок дороги за 20 ч. За сколько часов может выполнить этот ремонт каждая бригада самостоятельно, если одной бригаде на это требуется на 9 ч больше, чем другой?

3. Водный раствор соли содержал 5 г воды. После того как в раствор добавили 15 г воды, концентрация соли уменьшилась на 30 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Решение.

1.

Пусть $v$ км/ч – первоначальная скорость автомобиля. Тогда на втором участке его скорость была $(v + 10)$ км/ч.

Найдем длину первого участка пути:
$S_1 = 420 \cdot \frac{4}{7} = 240$ км.

Длина второго участка пути:
$S_2 = 420 - 240 = 180$ км.

Время, затраченное на первый участок: $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{240}{v}$ ч.
Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{S_2}{v+10} = \frac{180}{v+10}$ ч.

Общее время в пути составляет 5 часов, составим уравнение:
$\frac{240}{v} + \frac{180}{v+10} = 5$

Разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{48}{v} + \frac{36}{v+10} = 1$

Приведем к общему знаменателю $v(v+10)$, при условии, что $v > 0$:
$48(v+10) + 36v = v(v+10)$
$48v + 480 + 36v = v^2 + 10v$
$84v + 480 = v^2 + 10v$
$v^2 - 74v - 480 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 5476 + 1920 = 7396$
$\sqrt{D} = \sqrt{7396} = 86$
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{74 + 86}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{74 - 86}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $v_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной.
Следовательно, скорость на первом участке равна 80 км/ч.

Скорость на втором участке: $v + 10 = 80 + 10 = 90$ км/ч.

Ответ: 80 км/ч на первом участке и 90 км/ч на втором.

2.

Пусть вся работа по ремонту участка дороги равна 1.
Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $t$ часов, тогда вторая бригада выполнит ее за $(t+9)$ часов.

Производительность первой бригады: $\frac{1}{t}$ (часть работы в час).
Производительность второй бригады: $\frac{1}{t+9}$ (часть работы в час).

Работая вместе, они выполняют работу за 20 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{20}$ (часть работы в час).
Составим уравнение, сложив их производительности:
$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+9} = \frac{1}{20}$

Приведем к общему знаменателю $20t(t+9)$, при условии, что $t > 0$:
$20(t+9) + 20t = t(t+9)$
$20t + 180 + 20t = t^2 + 9t$
$40t + 180 = t^2 + 9t$
$t^2 - 31t - 180 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не подходит по смыслу задачи, так как время не может быть отрицательным.
Следовательно, первая бригада выполнит работу за 36 часов.

Время второй бригады: $t + 9 = 36 + 9 = 45$ часов.

Ответ: одна бригада может выполнить ремонт за 36 часов, а другая – за 45 часов.

3.

Пусть в растворе было $x$ граммов соли. Масса соли не меняется.

Изначально в растворе было 5 г воды. Масса исходного раствора: $(x + 5)$ г.
Начальная концентрация соли: $C_1 = \frac{x}{x+5}$.

После добавления 15 г воды, масса воды стала $5 + 15 = 20$ г.
Масса нового раствора: $(x + 20)$ г.
Новая концентрация соли: $C_2 = \frac{x}{x+20}$.

По условию, концентрация уменьшилась на 30%, это означает, что новая концентрация составляет $100\% - 30\% = 70\%$ от старой, то есть $C_2 = 0.7 \cdot C_1$.
Составим уравнение:
$\frac{x}{x+20} = 0.7 \cdot \frac{x}{x+5}$

Так как масса соли $x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:
$\frac{1}{x+20} = \frac{0.7}{x+5}$

Используем свойство пропорции:
$1 \cdot (x+5) = 0.7 \cdot (x+20)$
$x + 5 = 0.7x + 14$
$x - 0.7x = 14 - 5$
$0.3x = 9$
$x = \frac{9}{0.3} = 30$

Таким образом, в растворе содержится 30 граммов соли.

Ответ: 30 граммов.