Номер 40, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 40, страница 86.

Условие.

Самостоятельная работа № 40

Деление многочленов

1. Докажите, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 5$.

2. Докажите, что многочлен $x^3 - 4x - 3$ не делится нацело на многочлен $x + 2$.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби

$\frac{2x^4 + x^3 - 3x^2 + x - 2}{x^2 + x + 3}$

Решение.

1. Докажите, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 5$.

Для доказательства выполним деление многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 7x - 10$ на многочлен $Q(x) = x^2 - x - 5$ в столбик. Если остаток от деления равен нулю, то многочлен $P(x)$ делится на $Q(x)$ нацело.

Первый шаг деления: делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем первый член частного: $x^3 / x^2 = x$.

Умножаем делитель $x^2 - x - 5$ на $x$: $x(x^2 - x - 5) = x^3 - x^2 - 5x$.

Вычитаем результат из делимого: $(x^3 + x^2 - 7x - 10) - (x^3 - x^2 - 5x) = 2x^2 - 2x - 10$.

Второй шаг деления: делим старший член полученной разности ($2x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем второй член частного: $2x^2 / x^2 = 2$.

Умножаем делитель $x^2 - x - 5$ на $2$: $2(x^2 - x - 5) = 2x^2 - 2x - 10$.

Вычитаем результат из предыдущей разности: $(2x^2 - 2x - 10) - (2x^2 - 2x - 10) = 0$.

Остаток равен 0. Это означает, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится на многочлен $x^2 - x - 5$ без остатка. Частное равно $x+2$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при делении многочлена $x^3 + x^2 - 7x - 10$ на $x^2 - x - 5$ получается частное $x+2$ и остаток 0.

2. Докажите, что многочлен $x^3 - 4x - 3$ не делится нацело на многочлен $x + 2$.

Воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Если многочлен $x^3 - 4x - 3$ делится нацело на $x+2$, то остаток от деления должен быть равен нулю. В нашем случае делитель — это $x+2$, что можно записать как $x - (-2)$. Следовательно, $a = -2$.

Пусть $P(x) = x^3 - 4x - 3$. Найдем значение этого многочлена при $x = -2$:

$P(-2) = (-2)^3 - 4(-2) - 3 = -8 - (-8) - 3 = -8 + 8 - 3 = -3$.

Остаток от деления равен $-3$, а не 0. Следовательно, многочлен $x^3 - 4x - 3$ не делится нацело на многочлен $x + 2$.

Ответ: Утверждение доказано, так как остаток от деления равен $-3$, а не 0.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби $\frac{2x^4 + x^3 - 3x^2 + x - 2}{x^2 + x + 3}$.

Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель в столбик. Целой частью будет частное от этого деления.

Делим многочлен $2x^4 + x^3 - 3x^2 + x - 2$ на $x^2 + x + 3$.

Первый шаг: делим $2x^4$ на $x^2$, получаем $2x^2$. Умножаем $2x^2$ на делитель: $2x^2(x^2 + x + 3) = 2x^4 + 2x^3 + 6x^2$.
Вычитаем из делимого: $(2x^4 + x^3 - 3x^2 + x - 2) - (2x^4 + 2x^3 + 6x^2) = -x^3 - 9x^2 + x - 2$.

Второй шаг: делим $-x^3$ на $x^2$, получаем $-x$. Умножаем $-x$ на делитель: $-x(x^2 + x + 3) = -x^3 - x^2 - 3x$.
Вычитаем из результата предыдущего шага: $(-x^3 - 9x^2 + x - 2) - (-x^3 - x^2 - 3x) = -8x^2 + 4x - 2$.

Третий шаг: делим $-8x^2$ на $x^2$, получаем $-8$. Умножаем $-8$ на делитель: $-8(x^2 + x + 3) = -8x^2 - 8x - 24$.
Вычитаем из результата предыдущего шага: $(-8x^2 + 4x - 2) - (-8x^2 - 8x - 24) = 12x + 22$.

Степень остатка ($12x + 22$) меньше степени делителя ($x^2 + x + 3$), поэтому деление завершено. Частное (целая часть) равно $2x^2 - x - 8$.

Таким образом, дробь можно представить в виде: $2x^2 - x - 8 + \frac{12x + 22}{x^2 + x + 3}$.

Ответ: Целая часть равна $2x^2 - x - 8$.