Номер 6, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 88.

Условие.

6. Докажите, что множества $A = \{x | x = 8k - 3, k \in \mathbb{Z}\}$ и $B = \{x | x = 8n + 5, n \in \mathbb{Z}\}$ равны.

Решение.

Для того чтобы доказать, что два множества $A$ и $B$ равны, необходимо доказать два включения: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.

1. Докажем, что $A \subseteq B$ (каждый элемент множества A принадлежит множеству B).

Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A$. По определению множества $A$, существует такое целое число $k$ ($k \in \mathbb{Z}$), что $x = 8k - 3$.

Наша цель — показать, что $x$ можно представить в виде $8n + 5$ для некоторого целого числа $n$.

Преобразуем выражение для $x$:

$x = 8k - 3 = 8k - 8 + 8 - 3 = (8k - 8) + 5 = 8(k - 1) + 5$.

Пусть $n = k - 1$. Поскольку $k$ — целое число, то $k - 1$ также является целым числом, то есть $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, мы представили $x$ в виде $x = 8n + 5$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $x$ по определению принадлежит множеству $B$.

Поскольку мы выбрали произвольный элемент $x$ из $A$ и показали, что он принадлежит $B$, мы доказали, что $A \subseteq B$.

2. Докажем, что $B \subseteq A$ (каждый элемент множества B принадлежит множеству A).

Пусть $y$ — произвольный элемент множества $B$. По определению множества $B$, существует такое целое число $n$ ($n \in \mathbb{Z}$), что $y = 8n + 5$.

Наша цель — показать, что $y$ можно представить в виде $8k - 3$ для некоторого целого числа $k$.

Преобразуем выражение для $y$:

$y = 8n + 5 = 8n + 8 - 3 = (8n + 8) - 3 = 8(n + 1) - 3$.

Пусть $k = n + 1$. Поскольку $n$ — целое число, то $n + 1$ также является целым числом, то есть $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, мы представили $y$ в виде $y = 8k - 3$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $y$ по определению принадлежит множеству $A$.

Поскольку мы выбрали произвольный элемент $y$ из $B$ и показали, что он принадлежит $A$, мы доказали, что $B \subseteq A$.

Заключение

Так как мы доказали, что $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то по определению равенства множеств, множества $A$ и $B$ равны: $A = B$.

Ответ: Равенство множеств $A$ и $B$ доказано путем доказательства взаимных включений $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.