Номер 3, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 89.

Условие.

3. Выполните действия:

1) $\frac{x - 28}{4x^3} - \frac{5 - 7x}{x^4}$;

2) $4y - \frac{32y}{3y + 8}$;

3) $\frac{a + 6}{a - 6} + \frac{a^2 + 36}{a^2 - 12a + 36}$.

Решение.

1) $\frac{x-28}{4x^3} - \frac{5-7x}{x^4}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Для знаменателей $4x^3$ и $x^4$ наименьшим общим знаменателем будет $4x^4$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби ($\frac{x-28}{4x^3}$): $\frac{4x^4}{4x^3} = x$.
Для второй дроби ($\frac{5-7x}{x^4}$): $\frac{4x^4}{x^4} = 4$.
Умножим числители на их дополнительные множители и запишем выражение с общим знаменателем:
$\frac{x(x-28)}{4x^4} - \frac{4(5-7x)}{4x^4} = \frac{x^2 - 28x}{4x^4} - \frac{20 - 28x}{4x^4}$
Теперь выполним вычитание числителей:
$\frac{(x^2 - 28x) - (20 - 28x)}{4x^4} = \frac{x^2 - 28x - 20 + 28x}{4x^4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x^2 - 20}{4x^4}$
Ответ: $\frac{x^2 - 20}{4x^4}$

2) $4y - \frac{32y}{3y+8}$
Представим $4y$ в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{4y}{1}$.
$\frac{4y}{1} - \frac{32y}{3y+8}$
Приведем дроби к общему знаменателю $3y+8$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $3y+8$.
$\frac{4y(3y+8)}{3y+8} - \frac{32y}{3y+8}$
Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$\frac{12y^2 + 32y}{3y+8} - \frac{32y}{3y+8}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{12y^2 + 32y - 32y}{3y+8}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{12y^2}{3y+8}$
Ответ: $\frac{12y^2}{3y+8}$

3) $\frac{a+6}{a-6} + \frac{a^2+36}{a^2-12a+36}$
Разложим на множители знаменатель второй дроби. Выражение $a^2-12a+36$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2$.
Перепишем исходное выражение с разложенным знаменателем:
$\frac{a+6}{a-6} + \frac{a^2+36}{(a-6)^2}$
Общим знаменателем для этих дробей будет $(a-6)^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(a-6)^2}{a-6} = a-6$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$\frac{(a+6)(a-6)}{(a-6)^2} + \frac{a^2+36}{(a-6)^2}$
В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$\frac{a^2 - 36}{(a-6)^2} + \frac{a^2+36}{(a-6)^2}$
Теперь сложим числители дробей:
$\frac{(a^2 - 36) + (a^2 + 36)}{(a-6)^2} = \frac{a^2 - 36 + a^2 + 36}{(a-6)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2a^2}{(a-6)^2}$
Ответ: $\frac{2a^2}{(a-6)^2}$