Номер 2, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 2, страница 90.

Условие.

2. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \left(\frac{2a}{5b}\right)^4 $;

2) $ \left(-\frac{5m^4}{6n^6}\right)^3 $.

Решение.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойством степени: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{2a}{5b})^4 = \frac{(2a)^4}{(5b)^4}$

Далее, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$.

Возведем в степень числитель:

$(2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4$

Возведем в степень знаменатель:

$(5b)^4 = 5^4 \cdot b^4 = 625b^4$

В результате получаем дробь:

$\frac{16a^4}{625b^4}$

Ответ: $\frac{16a^4}{625b^4}$

2) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в степень 3) результат будет отрицательным. Поэтому знак минус можно вынести за скобки.

$(-\frac{5m^4}{6n^6})^3 = -(\frac{5m^4}{6n^6})^3$

Далее, как и в предыдущем примере, возводим в степень числитель и знаменатель дроби, используя свойства $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^a)^b = x^{ab}$.

Возводим в степень числитель:

$(5m^4)^3 = 5^3 \cdot (m^4)^3 = 125m^{4 \cdot 3} = 125m^{12}$

Возводим в степень знаменатель:

$(6n^6)^3 = 6^3 \cdot (n^6)^3 = 216n^{6 \cdot 3} = 216n^{18}$

Собираем итоговое выражение, не забывая про знак минус:

$-\frac{125m^{12}}{216n^{18}}$

Ответ: $-\frac{125m^{12}}{216n^{18}}$