Номер 1, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 91.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $\frac{14}{x^2 - 49} + \frac{x}{x + 7} = 1;$

2) $\frac{x}{x + 9} - \frac{81}{x^2 + 9x} = 0.$

Решение.

1)

Дано уравнение: $\frac{14}{x^2 - 49} + \frac{x}{x + 7} = 1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:

$x^2 - 49 \neq 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$ и $x \neq -7$.

$x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 7$ и $x \neq -7$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$. Это и будет общий знаменатель.

Домножим вторую дробь на $(x-7)$:

$\frac{14}{(x-7)(x+7)} + \frac{x(x-7)}{(x+7)(x-7)} = 1$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{14 + x(x-7)}{x^2 - 49} = 1$

$\frac{14 + x^2 - 7x}{x^2 - 49} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 49$, так как в ОДЗ это выражение не равно нулю:

$14 + x^2 - 7x = x^2 - 49$

Сократим $x^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:

$14 - 7x = -49$

$-7x = -49 - 14$

$-7x = -63$

$x = \frac{-63}{-7}$

$x = 9$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $9 \neq 7$ и $9 \neq -7$, корень является решением уравнения.

Ответ: $9$

2)

Дано уравнение: $\frac{x}{x + 9} - \frac{81}{x^2 + 9x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -9$.

$x^2 + 9x \neq 0 \Rightarrow x(x+9) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -9$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -9$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 + 9x = x(x+9)$. Общий знаменатель - $x(x+9)$.

Домножим первую дробь на $x$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+9)} - \frac{81}{x(x+9)} = 0$

$\frac{x^2 - 81}{x(x+9)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 81 = 0$

$x^2 = 81$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -9$).

Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, $x = -9$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $9$