Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 91.

Условие.

4. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $a^7 \cdot a^{-5}$;

2) $a^{-10} : a^{-13}$;

3) $(a^9)^{-2} \cdot a^{20}$.

Решение.

1) Для того чтобы представить произведение $a^7 \cdot a^{-5}$ в виде степени с основанием $a$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае показатели степеней равны $7$ и $-5$. Сложим их:
$a^7 \cdot a^{-5} = a^{7 + (-5)} = a^{7-5} = a^2$.
Ответ: $a^2$.

2) Чтобы представить частное $a^{-10} : a^{-13}$ в виде степени с основанием $a$, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом выражении показатели степеней равны $-10$ и $-13$. Вычтем из первого показателя второй:
$a^{-10} : a^{-13} = a^{-10 - (-13)} = a^{-10 + 13} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

3) Выражение $(a^9)^{-2} \cdot a^{20}$ содержит два действия со степенями. Сначала упростим множитель $(a^9)^{-2}$, применив свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножим показатели $9$ и $-2$:
$(a^9)^{-2} = a^{9 \cdot (-2)} = a^{-18}$.
Теперь исходное выражение принимает вид $a^{-18} \cdot a^{20}$. Далее, используя свойство умножения степеней, сложим показатели $-18$ и $20$:
$a^{-18} \cdot a^{20} = a^{-18 + 20} = a^2$.
Ответ: $a^2$.