Номер 1, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 1, страница 92.

Условие.

1. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что каждое из чисел $a + 12$ и $b - 11$ кратно 23. Докажите, что число $a - b$ также кратно 23.

Решение.

1. По условию задачи, натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что каждое из чисел $a + 12$ и $b - 11$ кратно 23.

Используем свойство делимости: если два числа делятся на некоторое число $n$, то их сумма и разность также делятся на $n$.

В нашем случае оба числа, $a + 12$ и $b - 11$, делятся на 23. Следовательно, их разность также должна делиться на 23.

Рассмотрим разность этих двух чисел:
$(a + 12) - (b - 11)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$a + 12 - b + 11 = a - b + 23$

Таким образом, мы получили, что число $a - b + 23$ кратно 23.

Теперь снова воспользуемся свойством делимости. Мы знаем, что:
1. Число $a - b + 23$ кратно 23 (как мы только что показали).
2. Число 23 само по себе очевидно кратно 23.

Разность этих двух чисел, $(a - b + 23) - 23$, также должна быть кратна 23.

Вычислим эту разность:
$(a - b + 23) - 23 = a - b$

Следовательно, число $a - b$ кратно 23. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.