Номер 5, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 5, страница 92.

Условие.

5. Какой остаток при делении на 6 даёт число $5^{35}$?

Решение.

5. Чтобы найти остаток от деления числа $5^{35}$ на 6, мы воспользуемся методами теории сравнений по модулю (модульной арифметики). Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения $5^{35} \pmod{6}$.

Рассмотрим остаток от деления основания степени, числа 5, на 6. Заметим, что $5 = 6 - 1$. В терминах сравнений это можно записать как:

$5 \equiv -1 \pmod{6}$

Это сравнение означает, что числа 5 и -1 дают одинаковый остаток при делении на 6. Использование -1 значительно упрощает вычисления со степенями.

Согласно свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то и $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального показателя $n$. Применим это свойство, возведя обе части нашего сравнения в степень 35:

$5^{35} \equiv (-1)^{35} \pmod{6}$

Так как показатель степени 35 является нечетным числом, то $(-1)^{35} = -1$. Таким образом, мы получаем:

$5^{35} \equiv -1 \pmod{6}$

По определению, остаток от деления должен быть неотрицательным числом, меньшим делителя (в данном случае, меньше 6). Сравнение $x \equiv -1 \pmod{6}$ означает, что число $x$ на единицу меньше некоторого числа, кратного 6. Чтобы найти стандартный положительный остаток, мы можем прибавить к -1 модуль сравнения, то есть 6, так как это не изменит сравнения:

$-1 \equiv -1 + 6 \pmod{6}$

$-1 \equiv 5 \pmod{6}$

Следовательно,

$5^{35} \equiv 5 \pmod{6}$

Это означает, что остаток от деления числа $5^{35}$ на 6 равен 5.

Ответ: 5