Номер 3, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 93.

Условие.

3. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 6x - 8 > -3(x - 2), \\ 4(x + 5) \ge 9x - 7. \end{cases}$

Решение.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их решений.

Решим первое неравенство:

$6x - 8 > -3(x - 2)$

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

$6x - 8 > -3x + 6$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$6x + 3x > 6 + 8$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$9x > 14$

Разделим обе части неравенства на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{14}{9}$

Решение первого неравенства представляет собой интервал $(\frac{14}{9}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$4(x + 5) \geq 9x - 7$

Раскроем скобки в левой части:

$4x + 20 \geq 9x - 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ остался положительным:

$20 + 7 \geq 9x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$27 \geq 5x$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв части местами и развернув знак неравенства:

$5x \leq 27$

Разделим обе части на 5:

$x \leq \frac{27}{5}$

Решение второго неравенства представляет собой числовой луч $(-\infty; \frac{27}{5}]$.

На последнем шаге найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы имеем два условия, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x > \frac{14}{9} \\ x \leq \frac{27}{5} \end{cases}$

Это означает, что искомые значения $x$ должны быть строго больше $\frac{14}{9}$ и одновременно меньше или равны $\frac{27}{5}$.

Решение системы можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{14}{9} < x \leq \frac{27}{5}$

Это соответствует числовому промежутку.

Ответ: $(\frac{14}{9}; \frac{27}{5}]$