Номер 2, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 2, страница 93.

Условие.

2. Найдите множество решений неравенства:

1) $3x - 5(6 - x) \ge 6 + 7(x - 4)$;

2) $(x - 9)(x + 3) \le 9 + (x - 3)^2$;

3) $\frac{x + 4}{4} - \frac{x - 3}{7} < \frac{x + 8}{14}$.

Решение.

1) $3x - 5(6 - x) \ge 6 + 7(x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x - 30 + 5x \ge 6 + 7x - 28$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$8x - 30 \ge 7x - 22$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки на противоположные:

$8x - 7x \ge -22 + 30$

Упростим выражение:

$x \ge 8$

Множество решений неравенства — это все числа, большие или равные 8. В виде промежутка это записывается как $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in [8; +\infty)$.

2) $(x - 9)(x + 3) \le 9 + (x - 3)^2$

Раскроем скобки в левой части и применим формулу квадрата разности в правой части:

$x^2 + 3x - 9x - 27 \le 9 + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2)$

$x^2 - 6x - 27 \le 9 + x^2 - 6x + 9$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 6x - 27 \le x^2 - 6x + 18$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 6x - 27 - x^2 + 6x - 18 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-6x + 6x) + (-27 - 18) \le 0$

$-45 \le 0$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $\frac{x + 4}{4} - \frac{x - 3}{7} < \frac{x + 8}{14}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей. Знаменатели равны 4, 7 и 14. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 28.

$28 \cdot \left( \frac{x + 4}{4} - \frac{x - 3}{7} \right) < 28 \cdot \frac{x + 8}{14}$

$\frac{28(x + 4)}{4} - \frac{28(x - 3)}{7} < \frac{28(x + 8)}{14}$

$7(x + 4) - 4(x - 3) < 2(x + 8)$

Раскроем скобки:

$7x + 28 - 4x + 12 < 2x + 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x + 40 < 2x + 16$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 2x < 16 - 40$

Упростим выражение:

$x < -24$

Множество решений неравенства — это все числа, строго меньшие -24. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; -24)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -24)$.