Номер 1, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 93.

Условие.

1. Дано: $2 < a < 7$ и $3 < b < 4$. Оцените значение выражения:

1) $3a - 4b$;

2) $\frac{a}{b}$;

3) $\frac{2}{3a - 4}$.

Решение.

1) $3a - 4b$

Для того чтобы оценить значение выражения $3a - 4b$, нам нужно сначала оценить значения для $3a$ и $4b$.

1. Оценим $3a$.
Так как по условию $2 < a < 7$, умножим все части этого неравенства на 3:
$2 \cdot 3 < a \cdot 3 < 7 \cdot 3$
$6 < 3a < 21$

2. Оценим $4b$.
Так как по условию $3 < b < 4$, умножим все части этого неравенства на 4:
$3 \cdot 4 < b \cdot 4 < 4 \cdot 4$
$12 < 4b < 16$

3. Чтобы оценить разность $3a - 4b$, мы можем заменить ее на сумму $3a + (-4b)$. Для этого найдем оценку для $-4b$. Умножим неравенство $12 < 4b < 16$ на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-16 < -4b < -12$

4. Теперь сложим почленно неравенства для $3a$ и $-4b$:
$6 < 3a < 21$
$-16 < -4b < -12$
Складываем левые части, средние части и правые части:
$6 + (-16) < 3a + (-4b) < 21 + (-12)$
$-10 < 3a - 4b < 9$

Ответ: $-10 < 3a - 4b < 9$

2) $\frac{a}{b}$

Чтобы оценить частное $\frac{a}{b}$, мы можем представить его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$.

1. У нас есть оценка для $a$: $2 < a < 7$.

2. Найдем оценку для $\frac{1}{b}$.
По условию $3 < b < 4$. Так как все части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{1}{4} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$

3. Теперь перемножим почленно неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$ (это возможно, так как все части обоих неравенств положительны):
$2 < a < 7$
$\frac{1}{4} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$
$2 \cdot \frac{1}{4} < a \cdot \frac{1}{b} < 7 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{2}{4} < \frac{a}{b} < \frac{7}{3}$
$\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < \frac{7}{3}$

3) $\frac{2}{3a - 4}$

Для оценки этого выражения сначала оценим его знаменатель, $3a - 4$.

1. Оценим $3a$.
Из условия $2 < a < 7$ следует, что $6 < 3a < 21$.

2. Теперь вычтем 4 из всех частей полученного неравенства:
$6 - 4 < 3a - 4 < 21 - 4$
$2 < 3a - 4 < 17$

3. Знаменатель $3a - 4$ находится в границах от 2 до 17, то есть он всегда положителен. Мы можем найти оценку для обратной величины $\frac{1}{3a - 4}$, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{1}{17} < \frac{1}{3a - 4} < \frac{1}{2}$

4. Наконец, умножим все части этого неравенства на 2:
$2 \cdot \frac{1}{17} < 2 \cdot \frac{1}{3a - 4} < 2 \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{2}{17} < \frac{2}{3a - 4} < 1$

Ответ: $\frac{2}{17} < \frac{2}{3a - 4} < 1$