Номер 4, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 4, страница 92.

Условие.

4. Решите в натуральных числах уравнение $x^2 - 3y = 29$.

Решение.

Дано уравнение $x^2 - 3y = 29$, где по условию $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Выразим $x^2$ из уравнения:

$x^2 = 29 + 3y$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения теории сравнений по модулю 3. Это удобно, так как в уравнении присутствует слагаемое $3y$, которое делится на 3 без остатка.

Правая часть уравнения: $29 + 3y$.

Слагаемое $3y$ очевидно кратно 3, поэтому $3y \equiv 0 \pmod{3}$.

Число 29 при делении на 3 дает в остатке 2, так как $29 = 3 \cdot 9 + 2$. Значит, $29 \equiv 2 \pmod{3}$.

Следовательно, вся правая часть уравнения $29 + 3y$ при делении на 3 будет давать остаток 2:

$29 + 3y \equiv 2 + 0 \equiv 2 \pmod{3}$.

Таким образом, из исходного уравнения следует, что $x^2$ должно давать остаток 2 при делении на 3:

$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$.

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2.

1. Если $x$ делится на 3 ($x \equiv 0 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

2. Если $x$ дает остаток 1 при делении на 3 ($x \equiv 1 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

3. Если $x$ дает остаток 2 при делении на 3 ($x \equiv 2 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения ($x^2$) при делении на 3 может иметь остаток только 0 или 1, в то время как правая часть ($29+3y$) всегда имеет остаток 2. Это означает, что равенство $x^2 = 29 + 3y$ не может выполняться ни для каких целых чисел $x$ и $y$.

Поскольку уравнение не имеет решений в целых числах, оно тем более не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: решений в натуральных числах нет.