Номер 4, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 92.
№4 (с. 92)
Условие. №4 (с. 92)
скриншот условия

4. Решите в натуральных числах уравнение $x^2 - 3y = 29$.
Решение. №4 (с. 92)
Дано уравнение $x^2 - 3y = 29$, где по условию $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$.
Выразим $x^2$ из уравнения:
$x^2 = 29 + 3y$
Рассмотрим это уравнение с точки зрения теории сравнений по модулю 3. Это удобно, так как в уравнении присутствует слагаемое $3y$, которое делится на 3 без остатка.
Правая часть уравнения: $29 + 3y$.
Слагаемое $3y$ очевидно кратно 3, поэтому $3y \equiv 0 \pmod{3}$.
Число 29 при делении на 3 дает в остатке 2, так как $29 = 3 \cdot 9 + 2$. Значит, $29 \equiv 2 \pmod{3}$.
Следовательно, вся правая часть уравнения $29 + 3y$ при делении на 3 будет давать остаток 2:
$29 + 3y \equiv 2 + 0 \equiv 2 \pmod{3}$.
Таким образом, из исходного уравнения следует, что $x^2$ должно давать остаток 2 при делении на 3:
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$.
Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2.
1. Если $x$ делится на 3 ($x \equiv 0 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
2. Если $x$ дает остаток 1 при делении на 3 ($x \equiv 1 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
3. Если $x$ дает остаток 2 при делении на 3 ($x \equiv 2 \pmod{3}$), то его квадрат $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.
Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения ($x^2$) при делении на 3 может иметь остаток только 0 или 1, в то время как правая часть ($29+3y$) всегда имеет остаток 2. Это означает, что равенство $x^2 = 29 + 3y$ не может выполняться ни для каких целых чисел $x$ и $y$.
Поскольку уравнение не имеет решений в целых числах, оно тем более не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений в натуральных числах нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 92 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 92), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.