Номер 6, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 92.

Условие.

6. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения $18^n - 1$ является простым числом.

Решение.

Пусть $P = 18^n - 1$. Требуется найти все натуральные значения $n$, при которых $P$ является простым числом.

Проверим первые несколько натуральных значений $n$:

• При $n=1$, $P = 18^1 - 1 = 17$. Число 17 является простым. Значит, $n=1$ — это решение.
• При $n=2$, $P = 18^2 - 1 = 324 - 1 = 323$. Число 323 является составным, так как $323 = 17 \times 19$. Значит, $n=2$ не является решением.

Для анализа общего случая воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Применим эту формулу к выражению $18^n - 1$, представив его как $18^n - 1^n$:

$18^n - 1 = (18-1)(18^{n-1} + 18^{n-2} + \dots + 18 + 1)$

$18^n - 1 = 17 \cdot (18^{n-1} + 18^{n-2} + \dots + 18 + 1)$

Из этого разложения видно, что выражение $18^n - 1$ является произведением двух множителей: $17$ и $(18^{n-1} + 18^{n-2} + \dots + 1)$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Чтобы произведение двух целых чисел было простым, один из множителей должен быть равен 1, а второй — самому простому числу.

Первый множитель в нашем произведении равен 17, что очевидно не равно 1. Следовательно, второй множитель должен быть равен 1, чтобы их произведение было простым числом 17.

$18^{n-1} + 18^{n-2} + \dots + 18 + 1 = 1$

Рассмотрим это уравнение. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), все слагаемые в левой части являются положительными целыми числами.

• Если $n=1$, левая часть уравнения состоит из одного слагаемого: $18^{1-1} = 18^0 = 1$. Уравнение $1=1$ выполняется.
• Если $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), то в левой части будет сумма как минимум двух положительных слагаемых ($18^{n-1}$ и всех последующих, вплоть до 1). Например, при $n=2$ сумма равна $18^1 + 1 = 19$. Очевидно, что при $n \ge 2$ сумма $18^{n-1} + \dots + 1$ всегда будет больше 1.

Таким образом, единственное натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию, — это $n=1$. При $n=1$ выражение $18^n - 1$ равно 17, что является простым числом. При всех $n > 1$ выражение $18^n - 1$ представляет собой произведение двух целых чисел, больших 1 (а именно 17 и числа, большего 1), и, следовательно, является составным числом.

Ответ: $1$.