Номер 7, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 7, страница 92.

Условие.

7. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $5 \cdot 7^{2n+1} + 13 \cdot 25^n$ кратно 24.

Решение.

Докажем, что выражение $5 \cdot 7^{2n+1} + 13 \cdot 25^n$ кратно 24 для всех натуральных $n$, используя метод математической индукции.

База индукции
Проверим утверждение для $n=1$:
$5 \cdot 7^{2 \cdot 1 + 1} + 13 \cdot 25^1 = 5 \cdot 7^3 + 13 \cdot 25 = 5 \cdot 343 + 325 = 1715 + 325 = 2040$.
Проверим делимость 2040 на 24:
$2040 / 24 = 85$.
Так как 2040 делится на 24 без остатка, утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение
Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ выражение $5 \cdot 7^{2k+1} + 13 \cdot 25^k$ кратно 24. То есть, существует такое целое число $m$, что $5 \cdot 7^{2k+1} + 13 \cdot 25^k = 24m$.

Индукционный шаг
Докажем, что из предположения следует верность утверждения для $n=k+1$. То есть, докажем, что выражение $5 \cdot 7^{2(k+1)+1} + 13 \cdot 25^{k+1}$ также кратно 24.
Рассмотрим это выражение:
$5 \cdot 7^{2(k+1)+1} + 13 \cdot 25^{k+1} = 5 \cdot 7^{2k+3} + 13 \cdot 25^{k+1}$
$= 5 \cdot 7^{2k+1} \cdot 7^2 + 13 \cdot 25^k \cdot 25$
$= 49 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1}) + 25 \cdot (13 \cdot 25^k)$
Теперь преобразуем выражение, чтобы использовать индукционное предположение. Заменим $49$ на $25+24$:
$= (25+24) \cdot (5 \cdot 7^{2k+1}) + 25 \cdot (13 \cdot 25^k)$
$= 25 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1}) + 24 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1}) + 25 \cdot (13 \cdot 25^k)$
Сгруппируем слагаемые:
$= 25 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1} + 13 \cdot 25^k) + 24 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1})$
Выражение в скобках, $(5 \cdot 7^{2k+1} + 13 \cdot 25^k)$, по индукционному предположению кратно 24, то есть равно $24m$. Второе слагаемое, $24 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1})$, очевидно кратно 24, так как содержит множитель 24.
Подставим $24m$:
$= 25 \cdot (24m) + 24 \cdot (5 \cdot 7^{2k+1})$
Вынесем общий множитель 24:
$= 24 \cdot (25m + 5 \cdot 7^{2k+1})$
Так как $m$ - целое число, а $k$ - натуральное, то выражение в скобках $(25m + 5 \cdot 7^{2k+1})$ является целым числом. Следовательно, все выражение кратно 24.

Шаг индукции доказан. Поскольку утверждение верно для $n=1$ и из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$, то по принципу математической индукции данное выражение кратно 24 для всех натуральных значений $n$.
Ответ: Что и требовалось доказать.