Номер 6, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 93.

Условие.

6. Решите уравнение $|x - 1| + |x + 7| = 8$.

Решение.

Для решения уравнения $|x-1| + |x+7| = 8$ применяется метод интервалов. Суть метода заключается в том, чтобы найти значения переменной, при которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль, и рассмотреть решение на каждом из полученных промежутков.

1. Находим нули подмодульных выражений:

$x-1=0 \implies x=1$

$x+7=0 \implies x=-7$

Эти точки, -7 и 1, разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $[-7; 1)$ и $[1; +\infty)$. Решим уравнение для каждого интервала.

Случай 1: $x < -7$

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x-1 < 0$ и $x+7 < 0$. При раскрытии модуля знак каждого выражения меняется на противоположный:

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x+7| = -(x+7) = -x-7$

Уравнение принимает вид:

$(1-x) + (-x-7) = 8$

$1-x-x-7=8$

$-2x-6=8$

$-2x=14$

$x=-7$

Полученное значение $x=-7$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -7$, следовательно, на этом интервале решений нет.

Случай 2: $-7 \le x < 1$

На этом промежутке выражение $x-1$ отрицательно ($x-1 < 0$), а выражение $x+7$ неотрицательно ($x+7 \ge 0$). Поэтому:

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x+7| = x+7$

Подставляем в уравнение:

$(1-x) + (x+7) = 8$

$1-x+x+7=8$

$8=8$

Мы получили верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это означает, что все значения $x$ из промежутка $[-7; 1)$ являются решениями уравнения.

Случай 3: $x \ge 1$

На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x-1 \ge 0$ и $x+7 > 0$. Модули раскрываются без изменения знака:

$|x-1| = x-1$

$|x+7| = x+7$

Уравнение принимает вид:

$(x-1) + (x+7) = 8$

$2x+6=8$

$2x=2$

$x=1$

Полученное значение $x=1$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 1$, значит, оно является решением.

Объединение решений

Теперь объединим все найденные решения. Во втором случае мы выяснили, что решением является интервал $[-7; 1)$. В третьем случае мы нашли решение $x=1$. Объединение множества $[-7; 1)$ и точки $\{1\}$ дает замкнутый отрезок $[-7; 1]$.

Ответ: $x \in [-7; 1]$.