Номер 2, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 2, страница 94.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18};$

2) $\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}.$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18}$, необходимо привести все слагаемые к общему виду, вынеся множители из-под знака корня в слагаемых с $\sqrt{8}$ и $\sqrt{18}$.
Упростим каждый корень отдельно:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18} = 7\sqrt{2} - 3(2\sqrt{2}) + 4(3\sqrt{2})$
Выполним умножение:
$7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$
Теперь все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить их коэффициенты:
$(7 - 6 + 12)\sqrt{2} = (1 + 12)\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$
Ответ: $13\sqrt{2}$

2) Чтобы упростить выражение $\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Область допустимых значений: $a \ge 0$ и $a \neq 3$.
Рассмотрим числитель: $a - 2\sqrt{3a} + 3$. Это выражение является полным квадратом разности. Представим его в виде $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = a \implies x = \sqrt{a}$, и $y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$. Тогда средний член $2xy = 2\sqrt{a}\sqrt{3} = 2\sqrt{3a}$.
Следовательно, числитель можно свернуть по формуле квадрата разности:
$a - 2\sqrt{3a} + 3 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})^2$
Рассмотрим знаменатель: $a - 3$. Это выражение является разностью квадратов. Представим его в виде $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$a - 3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})$
Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{3})$:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$