Номер 4, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 4, страница 94.

Условие.

4. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{5b^2}$, если $b \le 0$;

2) $\sqrt{-a^5}$;

3) $\sqrt{-a^3b^6}$, если $b > 0$.

Решение.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{5b^2}$, воспользуемся свойством корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{5} \cdot |b|$.
По условию дано, что $b \le 0$. Согласно определению модуля, если число неположительное, его модуль равен противоположному числу: $|b| = -b$.
Подставим это в наше выражение: $\sqrt{5} \cdot (-b) = -b\sqrt{5}$.
Ответ: $-b\sqrt{5}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{-a^5}$.
Для того чтобы корень был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^5 \ge 0$, что равносильно $a^5 \le 0$, а значит $a \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень, выделив множитель с четной степенью:
$-a^5 = -a \cdot a^4 = -a \cdot (a^2)^2$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{-a^5} = \sqrt{-a \cdot a^4} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{-a} = |a^2| \cdot \sqrt{-a}$.
Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно при любом действительном $a$, то $|a^2| = a^2$.
Таким образом, получаем $a^2\sqrt{-a}$.
Ответ: $a^2\sqrt{-a}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{-a^3b^6}$ при условии $b > 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^3b^6 \ge 0$.
Поскольку по условию $b > 0$, то $b^6 > 0$. Разделив неравенство на положительное число $b^6$, получим $-a^3 \ge 0$, что равносильно $a^3 \le 0$, а значит $a \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами:
$-a^3b^6 = -a \cdot a^2 \cdot (b^3)^2$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{-a^3b^6} = \sqrt{a^2 \cdot (b^3)^2 \cdot (-a)} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^3)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a| \cdot |b^3| \cdot \sqrt{-a}$.
Теперь раскроем модули с учетом условий:
- так как мы определили, что $a \le 0$, то $|a| = -a$.
- так как по условию $b > 0$, то $b^3 > 0$, и значит $|b^3| = b^3$.
Подставляем полученные значения в выражение:
$(-a) \cdot b^3 \cdot \sqrt{-a} = -ab^3\sqrt{-a}$.
Ответ: $-ab^3\sqrt{-a}$.