Номер 7, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 7, страница 93.

Условие.

7. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство $(a-9)^2 x \leq a^2 - 81$.

Решение.

Данное неравенство является линейным относительно переменной $x$: $(a-9)^2 x \le a^2 - 81$.

Для его решения необходимо рассмотреть коэффициент при $x$, который равен $(a-9)^2$. Так как это выражение является полным квадратом, оно всегда неотрицательно, то есть $(a-9)^2 \ge 0$.

Разобьем решение на два случая в зависимости от значения этого коэффициента.

Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это возможно, если $(a-9)^2 = 0$, что выполняется при $a=9$.

Подставим значение $a=9$ в исходное неравенство:

$(9-9)^2 x \le 9^2 - 81$

$0 \cdot x \le 81 - 81$

$0 \le 0$

Полученное неравенство $0 \le 0$ является верным для любого значения $x$. Следовательно, при $a=9$ решением является любое действительное число.

Случай 2: Коэффициент при $x$ строго положителен.

Это возможно, если $(a-9)^2 > 0$, что выполняется при всех $a$, кроме $a=9$, то есть $a \ne 9$.

Так как коэффициент $(a-9)^2$ положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака неравенства:

$x \le \frac{a^2 - 81}{(a-9)^2}$

Преобразуем правую часть неравенства, разложив числитель по формуле разности квадратов: $a^2 - 81 = (a-9)(a+9)$.

$x \le \frac{(a-9)(a+9)}{(a-9)^2}$

Поскольку $a \ne 9$, то $a-9 \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-9)$:

$x \le \frac{a+9}{a-9}$

Следовательно, при $a \ne 9$ решением неравенства является множество всех чисел, не превосходящих $\frac{a+9}{a-9}$.

Объединим полученные результаты.

Ответ:

при $a = 9$ решением является $x \in (-\infty; +\infty)$;

при $a \ne 9$ решением является $x \in (-\infty; \frac{a+9}{a-9}]$.