Номер 8, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 8, страница 91.

Условие.

8. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x+6a}{x-3} = 0;$

2) $\frac{ax-2}{x-1} = a+1.$

Решение.

1)

Дано уравнение $\frac{x + 6a}{x - 3} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x + 6a = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим $x = -6a$.

Теперь нужно проверить, при каких значениях параметра $a$ выполняется второе условие системы, то есть знаменатель не равен нулю. Подставим найденное значение $x$ в это условие:

$-6a - 3 \neq 0$

$-6a \neq 3$

$a \neq -\frac{3}{6}$

$a \neq -\frac{1}{2}$

Таким образом, решение уравнения зависит от значения параметра $a$.

• Если $a = -\frac{1}{2}$, то корень числителя $x = -6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$. При этом значении $x$ знаменатель $x-3$ обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, при $a = -\frac{1}{2}$ уравнение не имеет решений.
• Если $a \neq -\frac{1}{2}$, то корень $x = -6a$ не обращает знаменатель в ноль, и, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: если $a = -\frac{1}{2}$, то корней нет; если $a \neq -\frac{1}{2}$, то $x = -6a$.

2)

Дано уравнение $\frac{ax - 2}{x - 1} = a + 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

На ОДЗ умножим обе части уравнения на $(x - 1)$:

$ax - 2 = (a + 1)(x - 1)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$ax - 2 = ax - a + x - 1$

Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ax - ax - x = -a - 1 + 2$

$-x = 1 - a$

$x = a - 1$

Мы получили потенциальный корень $x = a - 1$. Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ этот корень удовлетворяет ОДЗ $x \neq 1$.

Для этого найдем значение $a$, при котором корень совпадает с недопустимым значением:

$a - 1 = 1$

$a = 2$

Таким образом, решение уравнения зависит от значения параметра $a$.

• Если $a = 2$, то корень уравнения $x = 2 - 1 = 1$. Это значение не входит в ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, при $a = 2$ уравнение не имеет решений.
• Если $a \neq 2$, то корень $x = a - 1$ удовлетворяет ОДЗ ($a-1 \neq 1$) и является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: если $a = 2$, то корней нет; если $a \neq 2$, то $x = a - 1$.