Номер 1, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 90.

Условие.

1. Выполните действия:

1) $\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot \left(-\frac{z^4}{16x^2y^6}\right);$

2) $\frac{72a^7}{c^{10}} : (24a^3c^8);$

3) $\frac{6x - 30}{x + 8} : \frac{x^2 - 25}{2x + 16};$

4) $\frac{5x - 10}{x^2 + 14x + 49} \cdot \frac{4x + 28}{x - 2}.$

Решение.

1) Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, перемножим их числители и знаменатели, а затем сократим полученную дробь.
$\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot \left(-\frac{z^4}{16x^2y^6}\right) = -\frac{56x^3y^4z^4}{16x^2y^6z^5}$
Сократим числовые коэффициенты 56 и 16. Их наибольший общий делитель равен 8. $56 \div 8 = 7$, $16 \div 8 = 2$.
Теперь сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$
$\frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
$\frac{z^4}{z^5} = z^{4-5} = z^{-1} = \frac{1}{z}$
Собираем все части вместе:
$-\frac{7x}{2y^2z}$
Ответ: $-\frac{7x}{2y^2z}$

2) Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему. Выражение $24a^3c^8$ можно представить в виде дроби $\frac{24a^3c^8}{1}$.
$\frac{72a^7}{c^{10}} : (24a^3c^8) = \frac{72a^7}{c^{10}} \cdot \frac{1}{24a^3c^8} = \frac{72a^7}{24a^3c^{10}c^8}$
Сократим коэффициенты: $\frac{72}{24} = 3$.
Упростим переменные. Для $a$: $\frac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4$. Для $c$ в знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим $c^{10} \cdot c^8 = c^{10+8} = c^{18}$.
В результате получаем:
$\frac{3a^4}{c^{18}}$
Ответ: $\frac{3a^4}{c^{18}}$

3) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{6x - 30}{x + 8} : \frac{x^2 - 25}{2x + 16} = \frac{6x - 30}{x + 8} \cdot \frac{2x + 16}{x^2 - 25}$
Разложим числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.
$6x - 30 = 6(x - 5)$
$2x + 16 = 2(x + 8)$
$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$)
Подставим разложенные выражения обратно:
$\frac{6(x - 5)}{x + 8} \cdot \frac{2(x + 8)}{(x - 5)(x + 5)}$
Сократим общие множители $(x - 5)$ и $(x + 8)$:
$\frac{6 \cdot 2}{x + 5} = \frac{12}{x + 5}$
Ответ: $\frac{12}{x + 5}$

4) Для выполнения умножения разложим числители и знаменатели дробей на множители.
$\frac{5x - 10}{x^2 + 14x + 49} \cdot \frac{4x + 28}{x - 2}$
Разложим на множители каждое выражение:
$5x - 10 = 5(x - 2)$
$x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$ (по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$)
$4x + 28 = 4(x + 7)$
Подставим полученные выражения в исходное:
$\frac{5(x - 2)}{(x + 7)^2} \cdot \frac{4(x + 7)}{x - 2}$
Сократим общие множители $(x - 2)$ и одну степень $(x + 7)$:
$\frac{5 \cdot 4}{x + 7} = \frac{20}{x + 7}$
Ответ: $\frac{20}{x + 7}$