Номер 8, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1. Контрольные работы - номер 8, страница 88.

Условие.

8. Множество $A$ содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

Решение.

Для ответа на этот вопрос сравним количество подмножеств с чётным и нечётным числом элементов. Это можно сделать двумя способами, каждый из которых приводит к одному и тому же выводу.

1. Алгебраический способ (с использованием бинома Ньютона)

Пусть $n=25$ — количество элементов в множестве $A$. Число подмножеств, состоящих из $k$ элементов, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Количество подмножеств с чётным числом элементов (0, 2, 4, ..., 24) равно сумме:
$N_{чётн} = \binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \binom{25}{4} + \dots + \binom{25}{24}$

Количество подмножеств с нечётным числом элементов (1, 3, 5, ..., 25) равно сумме:
$N_{нечётн} = \binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \binom{25}{5} + \dots + \binom{25}{25}$

Из формулы бинома Ньютона для $(1-x)^n$ при $x=1$ следует, что для любого натурального $n \ge 1$:
$(1-1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^n \binom{n}{n} = 0$

Применительно к нашему случаю ($n=25$):
$0 = \binom{25}{0} - \binom{25}{1} + \binom{25}{2} - \binom{25}{3} + \dots - \binom{25}{25}$

Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками:
$0 = (\binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \dots + \binom{25}{24}) - (\binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \dots + \binom{25}{25})$

Это означает, что $0 = N_{чётн} - N_{нечётн}$, откуда следует, что $N_{чётн} = N_{нечётн}$.

2. Комбинаторный способ (построение взаимно-однозначного соответствия)

Зафиксируем один любой элемент, назовём его $x$, из множества $A$.

Теперь для каждого подмножества $S$ множества $A$ построим новое подмножество $S'$ по следующему правилу:
- если элемент $x$ не входит в $S$, то добавим его: $S' = S \cup \{x\}$;
- если элемент $x$ входит в $S$, то удалим его: $S' = S \setminus \{x\}$.

Это преобразование сопоставляет каждому подмножеству с чётным числом элементов единственное подмножество с нечётным числом элементов (так как количество элементов изменяется ровно на 1). И наоборот, каждому нечётному подмножеству сопоставляется единственное чётное.

Таким образом, мы установили взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством всех "чётных" подмножеств и множеством всех "нечётных" подмножеств. Следовательно, их количества равны.

Оба способа показывают, что количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов и с нечётным количеством элементов одинаково.