Номер 34, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 34, страница 83.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Формула корней квадратного уравнения

1. Решите уравнение:

1) $x^2 - 9x + 20 = 0$;

2) $2x^2 + x - 5 = 0$;

3) $x^2 - 6x + 13 = 0$.

2. Найдите три последовательных натуральных числа, если утроенный квадрат первого из них на 33 больше произведения второго и третьего чисел.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 7x - 4| = 4$;

2) $x|x| + 9x - 8 = 0$;

3) $x^2 - 10x + \frac{2}{x-3} = \frac{2}{x-3} - 21$;

4) $(\sqrt{x} - 5)(16x^2 - 22x - 3) = 0$.

4. При каких значениях параметра $a$ имеет единственный корень уравнение:

1) $3x^2 + ax + 27 = 0$;

2) $(a - 3)x^2 + (2a - 6)x + 2 = 0$.

Решение.

1) Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1, b=-9, c=20$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 1}{2}$.
$x_1 = \frac{9+1}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{9-1}{2} = 4$.

Ответ: 4; 5.

2) Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2, b=1, c=-5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}$; $\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}$.

3) Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-6, c=13$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

---

Обозначим три последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, где $n \in \mathbb{N}$.
По условию задачи, утроенный квадрат первого числа на 33 больше произведения второго и третьего. Составим уравнение:
$3n^2 = (n+1)(n+2) + 33$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$3n^2 = n^2 + 2n + n + 2 + 33$
$3n^2 = n^2 + 3n + 35$
$2n^2 - 3n - 35 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $n$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 17}{4}$.
$n_1 = \frac{3+17}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$n_2 = \frac{3-17}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -3.5$ не подходит.
Следовательно, первое число равно 5. Два других числа: $5+1=6$ и $5+2=7$.

Ответ: 5, 6, 7.

---

1) Уравнение с модулем $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.
Случай 1: $x^2 + 7x - 4 = 4 \implies x^2 + 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.
Случай 2: $x^2 + 7x - 4 = -4 \implies x^2 + 7x = 0 \implies x(x+7) = 0$.
Корни $x_3 = 0$, $x_4 = -7$.
Объединяя решения, получаем четыре корня.

Ответ: -8; -7; 0; 1.

2) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 9x - 8 = 0 \implies x^2 + 9x - 8 = 0$.
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 81 + 32 = 113$.
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{113}}{2}$.
Проверяем условие $x \ge 0$:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{113}}{2}$. Так как $\sqrt{113} \approx 10.6$, то $x_1 > 0$, корень подходит.
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{113}}{2} < 0$, корень не подходит.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 9x - 8 = 0 \implies -x^2 + 9x - 8 = 0 \implies x^2 - 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$, $x_4 = 8$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{\sqrt{113}-9}{2}$.

3) Область допустимых значений (ОДЗ): $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$x^2 - 10x + \frac{2}{x-3} - \frac{2}{x-3} + 21 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 21$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 7.

4) Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sqrt{x} - 5 = 0 \implies \sqrt{x} = 5 \implies x = 25$.
Корень $x=25$ удовлетворяет ОДЗ.
2) $16x^2 - 22x - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-22)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-3) = 484 + 192 = 676 = 26^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 16} = \frac{22 \pm 26}{32}$.
$x_1 = \frac{22+26}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$x_2 = \frac{22-26}{32} = \frac{-4}{32} = -\frac{1}{8}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1=1.5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Корень $x_2 = -1/8$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Объединяем подходящие корни.

Ответ: 1.5; 25.

---

1) Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (не равен нулю).
Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю ($D=0$).
$D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot 27 = a^2 - 324$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$a^2 - 324 = 0$
$a^2 = 324$
$a = \pm \sqrt{324}$
$a = \pm 18$.

Ответ: при $a = -18$ или $a = 18$.

2) Уравнение имеет единственный корень в двух случаях: когда оно является линейным с одним решением, или когда оно является квадратным с дискриминантом, равным нулю.
Случай 1: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a-3=0 \implies a=3$.
Подставим $a=3$ в исходное уравнение:
$(3-3)x^2 + (2 \cdot 3 - 6)x + 2 = 0$
$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 = 0$
$2=0$.
Получено неверное равенство, значит при $a=3$ уравнение не имеет корней.
Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.
Это происходит при $a-3 \neq 0$ и $D=0$.
Вычислим дискриминант: $D = (2a-6)^2 - 4(a-3)(2) = (2(a-3))^2 - 8(a-3) = 4(a-3)^2 - 8(a-3)$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$4(a-3)^2 - 8(a-3) = 0$
Вынесем общий множитель $4(a-3)$ за скобки:
$4(a-3)((a-3) - 2) = 0$
$4(a-3)(a-5) = 0$
Отсюда $a-3=0$ или $a-5=0$.
$a=3$ или $a=5$.
Условие этого случая $a \neq 3$, поэтому единственным решением является $a=5$.
Объединяя результаты двух случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень только при $a=5$.

Ответ: при $a=5$.