Номер 27, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 27, страница 80.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

1. Найдите значение выражения:

1) $2\sqrt{0,36} - \sqrt{6^2 + 8^2}$;

2) $32 \cdot \left(-\frac{1}{4}\sqrt{3}\right)^2 - \frac{1}{6} \cdot (2\sqrt{21})^2$.

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 5 = 0$;

2) $\sqrt{2x} - 10 = 0$;

3) $\frac{14}{\sqrt{x-1}} = 7$;

4) $(x+3)^2 = 11$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x}$;

2) $y = \sqrt{|x|-6} + \frac{1}{\sqrt{x-7}}$.

4. Постройте график функции $y = (\sqrt{x+1})^2 - 1$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x(x-7)} < 0$;

2) $\sqrt{x(x-7)} \ge 0$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x-6)(\sqrt{x-a}) = 0$ имеет два корня?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) $2\sqrt{0,36} - \sqrt{6^2 + 8^2}$

Вычислим значение по частям:
$2\sqrt{0,36} = 2 \cdot 0,6 = 1,2$
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
Теперь найдем значение всего выражения:
$1,2 - 10 = -8,8$
Ответ: -8,8

2) $32 \cdot (-\frac{1}{4}\sqrt{3})^2 - \frac{1}{6} \cdot (2\sqrt{21})^2$

Вычислим значение каждого слагаемого отдельно:
$32 \cdot (-\frac{1}{4}\sqrt{3})^2 = 32 \cdot ((\frac{-1}{4})^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 32 \cdot (\frac{1}{16} \cdot 3) = \frac{32 \cdot 3}{16} = 2 \cdot 3 = 6$
$\frac{1}{6} \cdot (2\sqrt{21})^2 = \frac{1}{6} \cdot (2^2 \cdot (\sqrt{21})^2) = \frac{1}{6} \cdot (4 \cdot 21) = \frac{84}{6} = 14$
Теперь найдем значение всего выражения:
$6 - 14 = -8$
Ответ: -8

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 5 = 0$

$\frac{1}{3}\sqrt{x} = -5$
$\sqrt{x} = -15$
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: нет корней.

2) $\sqrt{2x} - 10 = 0$

$\sqrt{2x} = 10$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x})^2 = 10^2$
$2x = 100$
$x = 50$
Ответ: 50.

3) $\frac{14}{\sqrt{x} - 1} = 7$

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение $x \ge 0$ и знаменатель не равен нулю $\sqrt{x} - 1 \neq 0$, то есть $\sqrt{x} \neq 1$, $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, x \neq 1$.
Решаем уравнение:
$14 = 7(\sqrt{x} - 1)$
Разделим обе части на 7:
$2 = \sqrt{x} - 1$
$\sqrt{x} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 9$
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 9.

4) $(x + 3)^2 = 11$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 3 = \sqrt{11}$ или $x + 3 = -\sqrt{11}$
Отсюда находим два корня:
$x_1 = -3 + \sqrt{11}$
$x_2 = -3 - \sqrt{11}$
Ответ: $-3 \pm \sqrt{11}$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x \ge -7 \\ -x \ge -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 1 \end{cases}$
Таким образом, область определения функции: $-7 \le x \le 1$.
Ответ: $[-7; 1]$.

2) $y = \sqrt{|x| - 6} + \frac{1}{\sqrt{x-7}}$

Область определения функции задается системой неравенств:
1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $|x| - 6 \ge 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x-7 > 0$.
Получаем систему:
$\begin{cases} |x| \ge 6 \\ x > 7 \end{cases}$
Из первого неравенства следует, что $x \le -6$ или $x \ge 6$.
Найдем пересечение этого решения со вторым неравенством $x > 7$.
Пересечение ($x \le -6$ или $x \ge 6$) и ($x > 7$) дает $x > 7$.
Ответ: $(7; +\infty)$.

4. Постройте график функции $y = (\sqrt{x}+1)^2 - 1$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Так как под корнем стоит $x$, то ОДЗ: $x \ge 0$.
2. Упростим формулу функции:
$y = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}$.
3. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, выбирая значения $x$, из которых легко извлечь квадратный корень:
- При $x=0, y = 0 + 2\sqrt{0} = 0$. Точка (0, 0).
- При $x=1, y = 1 + 2\sqrt{1} = 1 + 2 = 3$. Точка (1, 3).
- При $x=4, y = 4 + 2\sqrt{4} = 4 + 2 \cdot 2 = 8$. Точка (4, 8).
- При $x=9, y = 9 + 2\sqrt{9} = 9 + 2 \cdot 3 = 15$. Точка (9, 15).
4. График функции начинается в точке (0, 0) и представляет собой возрастающую кривую, проходящую через точки (1, 3), (4, 8), (9, 15) и т.д., расположенную в первой координатной четверти.
Ответ: График функции — это кривая, выходящая из начала координат (0,0), проходящая через точки (1,3), (4,8) и т.д., и определенная для всех $x \ge 0$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x}(x-7) < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
При $x=0$ левая часть равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству.
При $x > 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель $(x-7)$ должен быть отрицательным.
$x - 7 < 0 \Rightarrow x < 7$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < 7$.
Ответ: $(0; 7)$.

2) $\sqrt{x}(x-7) \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Неравенство выполняется, когда левая часть равна 0 или больше 0.
Левая часть равна 0 при $\sqrt{x}=0$ (т.е. $x=0$) или при $x-7=0$ (т.е. $x=7$).
Левая часть больше 0, когда оба множителя положительны (так как $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным).
$\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$.
$x-7 > 0$ при $x > 7$.
Пересечение этих условий дает $x > 7$.
Объединяя все найденные решения ($x=0, x=7, x>7$), получаем $x=0$ и $x \ge 7$.
Ответ: $\{0\} \cup [7; +\infty)$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x-6)(\sqrt{x}-a) = 0$ имеет два корня?

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \ge 0$.
Уравнение распадается на два:
1. $x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$. Этот корень всегда существует и удовлетворяет ОДЗ.
2. $\sqrt{x} - a = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = a$.
Проанализируем второе уравнение:
- Если $a < 0$, уравнение $\sqrt{x} = a$ не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным. В этом случае исходное уравнение имеет только один корень $x_1=6$.
- Если $a \ge 0$, уравнение $\sqrt{x} = a$ имеет решение $x_2 = a^2$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ ($a^2 \ge 0$).
Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, необходимо, чтобы второй корень $x_2$ существовал и не совпадал с первым корнем $x_1$.
Условие существования второго корня: $a \ge 0$.
Условие, что корни различны: $x_1 \neq x_2$, то есть $6 \neq a^2$.
Из $a^2 \neq 6$ следует, что $a \neq \sqrt{6}$ и $a \neq -\sqrt{6}$.
Объединяя условия ($a \ge 0$ и $a \neq \sqrt{6}$), получаем, что $a$ может быть любым неотрицательным числом, кроме $\sqrt{6}$.
Ответ: $a \in [0; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.