Номер 23, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 23, страница 78.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Неравенства с одной переменной.

Числовые промежутки

1. Решите неравенство:

1) $8 - 9(x + 3) \ge 4 - 8x;$

2) $\frac{x+4}{4} - \frac{x-3}{6} < 2;$

3) $4x + (x - 3)^2 \ge (x - 5)(x + 5) - 2x.$

2. Равносильны ли неравенства:

1) $(x + 4)(x^2 + 8) > 0$ и $x + 4 > 0;$

2) $(x + 6)^2 > 0$ и $|x + 6| > 0;$

3) $(x + 7)x \ge x$ и $x + 7 \ge 1?$

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+7}{x+7} > \frac{4}{9};$

2) $\frac{1}{|x - 10|} > -1;$

3) $|x^2 - 25| \le 0.$

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $5x - a > 10$

является следствием неравенства $6a - x < 3?$

5. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $(a + 4)^2x \le 0;$

2) $(a - 5)x > a^2 - 25.$

Решение.

1. Решите неравенство:

1) $8 - 9(x + 3) \ge 4 - 8x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$8 - 9x - 27 \ge 4 - 8x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-19 - 9x \ge 4 - 8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки:

$-9x + 8x \ge 4 + 19$

$-x \ge 23$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le -23$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty, -23]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -23]$.

2) $\frac{x+4}{4} - \frac{x-3}{6} < 2$

Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 — это 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot \frac{x+4}{4} - 12 \cdot \frac{x-3}{6} < 12 \cdot 2$

$3(x+4) - 2(x-3) < 24$

Раскроем скобки:

$3x + 12 - 2x + 6 < 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 18 < 24$

Перенесем 18 в правую часть:

$x < 24 - 18$

$x < 6$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 6)$.

3) $4x + (x - 3)^2 \ge (x - 5)(x + 5) - 2x$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$4x + (x^2 - 6x + 9) \ge (x^2 - 25) - 2x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$x^2 - 2x + 9 \ge x^2 - 2x - 25$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 2x + 9 - x^2 + 2x + 25 \ge 0$

Слагаемые с $x^2$ и $x$ взаимно уничтожаются:

$34 \ge 0$

Полученное неравенство верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Равносильны ли неравенства:

1) $(x + 4)(x^2 + 8) > 0$ и $x + 4 > 0$

Рассмотрим первое неравенство. Выражение $x^2 + 8$ всегда положительно при любом $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 8 \ge 8 > 0$.

Поэтому знак произведения $(x + 4)(x^2 + 8)$ зависит только от знака множителя $(x + 4)$.

Таким образом, неравенство $(x + 4)(x^2 + 8) > 0$ равносильно неравенству $x + 4 > 0$.

Множества решений обоих неравенств совпадают ($x > -4$).

Ответ: Да, равносильны.

2) $(x + 6)^2 > 0$ и $|x + 6| > 0$

Рассмотрим первое неравенство. Квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен. Выражение $(x + 6)^2$ равно нулю только при $x = -6$. Значит, неравенство $(x + 6)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x = -6$.

Рассмотрим второе неравенство. Модуль любого числа, отличного от нуля, положителен. Выражение $|x + 6|$ равно нулю только при $x = -6$. Значит, неравенство $|x + 6| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x = -6$.

Множества решений обоих неравенств совпадают: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, +\infty)$.

Ответ: Да, равносильны.

3) $(x + 7)x \ge x$ и $x + 7 \ge 1$

Решим первое неравенство: $(x + 7)x \ge x$.

$(x + 7)x - x \ge 0$

$x(x + 7 - 1) \ge 0$

$x(x + 6) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -6] \cup [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 7 \ge 1$.

$x \ge 1 - 7$

$x \ge -6$

Решением этого неравенства является промежуток $[-6, +\infty)$.

Множества решений не совпадают. Например, число $x = -1$ является решением второго неравенства, но не является решением первого.

Ответ: Нет, не равносильны.

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+7}{x+7} > \frac{4}{9}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x+7 \neq 0$, откуда $x \neq -7$.

При всех $x \neq -7$ левая часть неравенства равна 1.

Получаем неравенство $1 > \frac{4}{9}$, которое является верным числовым неравенством.

Следовательно, решение исходного неравенства — это все числа из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-7, +\infty)$.

2) $\frac{1}{|x-10|} > -1$

ОДЗ: $|x-10| \neq 0$, откуда $x \neq 10$.

При всех $x$ из ОДЗ выражение $|x-10|$ строго положительно. Значит, и дробь $\frac{1}{|x-10|}$ всегда строго положительна.

Любое положительное число больше -1. Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 10) \cup (10, +\infty)$.

3) $|x^2 - 25| \le 0$

По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, т.е. $|A| \ge 0$ для любого выражения $A$.

Поэтому неравенство $|x^2 - 25| \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $|x^2 - 25| = 0$.

Это равносильно уравнению $x^2 - 25 = 0$.

$(x-5)(x+5) = 0$

Отсюда $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Ответ: $x \in \{-5, 5\}$.

4. При каких значениях параметра a неравенство $5x - a > 10$ является следствием неравенства $6a - x < 3$?

Неравенство A является следствием неравенства B, если множество решений B является подмножеством множества решений A.

Найдем множество решений неравенства B: $6a - x < 3$.

$-x < 3 - 6a$

$x > 6a - 3$. Множество решений $S_B = (6a - 3, +\infty)$.

Найдем множество решений неравенства A: $5x - a > 10$.

$5x > 10 + a$

$x > \frac{10 + a}{5}$. Множество решений $S_A = (\frac{10+a}{5}, +\infty)$.

Для того чтобы $S_B$ было подмножеством $S_A$, необходимо, чтобы начало интервала $S_B$ было не меньше, чем начало интервала $S_A$.

$6a - 3 \ge \frac{10 + a}{5}$

Умножим обе части на 5:

$5(6a - 3) \ge 10 + a$

$30a - 15 \ge 10 + a$

$30a - a \ge 10 + 15$

$29a \ge 25$

$a \ge \frac{25}{29}$

Ответ: $a \in [\frac{25}{29}, +\infty)$.

5. Для каждого значения параметра a решите неравенство:

1) $(a+4)^2 x \le 0$

Рассмотрим коэффициент при $x$, который равен $(a+4)^2$.

Случай 1: $(a+4)^2 > 0$. Это выполняется при $a+4 \neq 0$, то есть $a \neq -4$.

В этом случае мы делим неравенство на положительное число $(a+4)^2$, знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{0}{(a+4)^2}$

$x \le 0$.

Случай 2: $(a+4)^2 = 0$. Это выполняется при $a+4 = 0$, то есть $a = -4$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x \le 0$, или $0 \le 0$. Это верное неравенство при любом значении $x$.

Ответ: Если $a = -4$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a \neq -4$, то $x \in (-\infty, 0]$.

2) $(a-5)x > a^2 - 25$

Разложим правую часть на множители: $(a-5)x > (a-5)(a+5)$.

Рассмотрим коэффициент при $x$, который равен $(a-5)$.

Случай 1: $a-5 > 0$, то есть $a > 5$.

Делим обе части на положительное число $(a-5)$, знак неравенства не меняется:

$x > a+5$.

Случай 2: $a-5 < 0$, то есть $a < 5$.

Делим обе части на отрицательное число $(a-5)$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x < a+5$.

Случай 3: $a-5 = 0$, то есть $a = 5$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (5-5)(5+5)$, или $0 > 0$. Это неверное неравенство, оно не имеет решений.

Ответ: Если $a > 5$, то $x \in (a+5, +\infty)$; если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a+5)$; если $a = 5$, то решений нет ($\emptyset$).