Номер 17, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 17, страница 75.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$:

1) $m = 3, n = 67$;

2) $m = -86, n = 18$.

2. Число $k$ при делении на 3 даёт в остатке 2, а при делении на 8 даёт в остатке 6. Найдите остаток при делении числа $k$ на 24.

3. Известно, что $x \equiv -6 \pmod{10}$, $y \equiv -2 \pmod{10}$. Найдите остаток при делении на 10 числа: 1) $3x - 7y$; 2) $xy$; 3) $x^2$.

4. Решите в целых числах уравнение $y^2 - 20x = 6$.

5. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $26^n + 15 \cdot 17^n - 2 \cdot 8^{n+1}$ кратно 9.

6. Найдите остаток при делении числа $54^7$ на число 13.

Решение.

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n:

1) m = 3, n = 67

Деление с остатком определяется формулой $m = n \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, и должно выполняться условие $0 \le r < |n|$.
В данном случае $m = 3$ и $n = 67$. Мы ищем такие целые числа $q$ и $r$, что $3 = 67 \cdot q + r$ и $0 \le r < 67$.
Поскольку $3 < 67$, единственно возможным значением для неполного частного $q$ является $0$.
Подставим $q = 0$ в формулу: $3 = 67 \cdot 0 + r$.
Отсюда получаем, что $r = 3$.
Условие $0 \le 3 < 67$ выполняется.
Таким образом, неполное частное равно 0, а остаток равен 3.

Ответ: неполное частное 0, остаток 3.

2) m = -86, n = 18

Мы ищем такие целые числа $q$ и $r$, что $-86 = 18 \cdot q + r$ и $0 \le r < 18$.
Чтобы найти $q$, разделим $-86$ на $18$: $-86 / 18 \approx -4.77$. Неполное частное $q$ должно быть целым числом, меньшим или равным $-4.77$, то есть $q = -5$.
Подставим $q = -5$ в формулу: $-86 = 18 \cdot (-5) + r$.
$-86 = -90 + r$.
Отсюда $r = -86 + 90 = 4$.
Проверим условие для остатка: $0 \le 4 < 18$. Условие выполняется.
Таким образом, неполное частное равно -5, а остаток равен 4.

Ответ: неполное частное -5, остаток 4.

2.

По условию, число $k$ при делении на 3 даёт в остатке 2, а при делении на 8 даёт в остатке 6. Это можно записать в виде системы сравнений:
$k \equiv 2 \pmod{3}$
$k \equiv 6 \pmod{8}$
Из второго сравнения следует, что число $k$ можно представить в виде $k = 8a + 6$, где $a$ — некоторое целое число.
Подставим это выражение в первое сравнение:
$8a + 6 \equiv 2 \pmod{3}$
Упростим сравнение, найдя остатки коэффициентов при делении на 3:
$8 \equiv 2 \pmod{3}$
$6 \equiv 0 \pmod{3}$
Получаем:
$2a + 0 \equiv 2 \pmod{3}$
$2a \equiv 2 \pmod{3}$
Поскольку 2 и 3 взаимно просты, мы можем разделить обе части сравнения на 2:
$a \equiv 1 \pmod{3}$
Это означает, что $a$ можно представить в виде $a = 3b + 1$ для некоторого целого числа $b$.
Теперь подставим это выражение для $a$ обратно в формулу для $k$:
$k = 8a + 6 = 8(3b + 1) + 6$
$k = 24b + 8 + 6$
$k = 24b + 14$
Это равенство означает, что при делении числа $k$ на 24 в остатке получается 14.

Ответ: 14.

3.

Даны сравнения $x \equiv -6 \pmod{10}$ и $y \equiv -2 \pmod{10}$.
Приведем остатки к стандартному виду (неотрицательные числа, меньшие модуля):
$x \equiv -6 + 10 \pmod{10} \implies x \equiv 4 \pmod{10}$
$y \equiv -2 + 10 \pmod{10} \implies y \equiv 8 \pmod{10}$
Теперь найдем остатки для заданных выражений.

1) $3x - 7y$

Используя свойства сравнений, подставим значения $x$ и $y$:
$3x - 7y \equiv 3 \cdot 4 - 7 \cdot 8 \pmod{10}$
$3x - 7y \equiv 12 - 56 \pmod{10}$
Найдем остатки для 12 и 56 при делении на 10:
$12 \equiv 2 \pmod{10}$
$56 \equiv 6 \pmod{10}$
$3x - 7y \equiv 2 - 6 \pmod{10}$
$3x - 7y \equiv -4 \pmod{10}$
Приводя к стандартному виду: $-4 \equiv -4 + 10 \pmod{10} \implies -4 \equiv 6 \pmod{10}$.
Остаток от деления на 10 равен 6.

Ответ: 6.

2) $xy$

$xy \equiv 4 \cdot 8 \pmod{10}$
$xy \equiv 32 \pmod{10}$
$32 \equiv 2 \pmod{10}$
Остаток от деления на 10 равен 2.

Ответ: 2.

3) $x^2$

$x^2 \equiv 4^2 \pmod{10}$
$x^2 \equiv 16 \pmod{10}$
$16 \equiv 6 \pmod{10}$
Остаток от деления на 10 равен 6.

Ответ: 6.

4.

Дано уравнение $y^2 - 20x = 6$, которое нужно решить в целых числах.
Перепишем уравнение в виде $y^2 = 20x + 6$.
Рассмотрим правую часть уравнения: $20x + 6 = 2(10x + 3)$. Это означает, что $y^2$ является четным числом. Если квадрат числа четный, то и само число четное. Следовательно, $y$ — четное число.
Пусть $y = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это в уравнение:
$(2k)^2 = 20x + 6$
$4k^2 = 20x + 6$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2k^2 = 10x + 3$
Рассмотрим левую и правую части полученного уравнения.
Левая часть, $2k^2$, всегда является четным числом, так как содержит множитель 2.
Правая часть, $10x + 3 = 2(5x) + 3 = 2(5x+1) + 1$, всегда является нечетным числом при любом целом $x$.
Мы получили равенство, в котором четное число равно нечетному, что невозможно.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

5.

Нужно доказать, что выражение $26^n + 15 \cdot 17^n - 2 \cdot 8^{n+1}$ кратно 9 для любого натурального $n$.
Для этого докажем, что данное выражение сравнимо с нулем по модулю 9.
$26^n + 15 \cdot 17^n - 2 \cdot 8^{n+1} \equiv 0 \pmod{9}$
Рассмотрим каждый член выражения по модулю 9:
$26 \equiv 26 - 2 \cdot 9 = 26 - 18 = 8 \equiv -1 \pmod{9}$.
Следовательно, $26^n \equiv (-1)^n \pmod{9}$.

$15 \equiv 15 - 1 \cdot 9 = 6 \pmod{9}$.
$17 \equiv 17 - 1 \cdot 9 = 8 \equiv -1 \pmod{9}$.
Следовательно, $15 \cdot 17^n \equiv 6 \cdot (-1)^n \pmod{9}$.

$2 \cdot 8^{n+1} = 2 \cdot 8 \cdot 8^n = 16 \cdot 8^n$.
$16 \equiv 16 - 1 \cdot 9 = 7 \pmod{9}$.
$8 \equiv -1 \pmod{9}$.
Следовательно, $16 \cdot 8^n \equiv 7 \cdot (-1)^n \pmod{9}$.

Теперь сложим все части вместе:
$26^n + 15 \cdot 17^n - 2 \cdot 8^{n+1} \equiv (-1)^n + 6 \cdot (-1)^n - 7 \cdot (-1)^n \pmod{9}$
Вынесем $(-1)^n$ за скобки:
$\equiv (1 + 6 - 7) \cdot (-1)^n \pmod{9}$
$\equiv 0 \cdot (-1)^n \pmod{9}$
$\equiv 0 \pmod{9}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 9, оно кратно 9 для любого натурального значения $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

6.

Требуется найти остаток при делении числа $5^{47}$ на 13. Это эквивалентно нахождению значения $5^{47} \pmod{13}$.
Поскольку 13 — простое число, а 5 не делится на 13, мы можем применить Малую теорему Ферма, которая гласит: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для простого $p$ и целого $a$, не кратного $p$.
В нашем случае $a=5$ и $p=13$, поэтому:
$5^{13-1} \equiv 5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
Теперь представим показатель степени 47 через 12:
$47 = 12 \cdot 3 + 11$.
Тогда:
$5^{47} = 5^{12 \cdot 3 + 11} = (5^{12})^3 \cdot 5^{11}$.
Найдем значение этого выражения по модулю 13:
$5^{47} \equiv (5^{12})^3 \cdot 5^{11} \pmod{13}$.
Так как $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$, получаем:
$5^{47} \equiv 1^3 \cdot 5^{11} \pmod{13} \implies 5^{47} \equiv 5^{11} \pmod{13}$.
Теперь нужно вычислить $5^{11} \pmod{13}$. Для этого посчитаем степени 5 по модулю 13:
$5^1 \equiv 5 \pmod{13}$
$5^2 = 25 \equiv 12 \equiv -1 \pmod{13}$
$5^4 = (5^2)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{13}$
$5^8 = (5^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{13}$
Представим 11 в виде суммы степеней двойки: $11 = 8 + 2 + 1$.
Тогда $5^{11} = 5^8 \cdot 5^2 \cdot 5^1$.
$5^{11} \equiv 1 \cdot (-1) \cdot 5 \pmod{13}$
$5^{11} \equiv -5 \pmod{13}$
$5^{11} \equiv -5 + 13 \pmod{13}$
$5^{11} \equiv 8 \pmod{13}$.
Следовательно, остаток при делении $5^{47}$ на 13 равен 8.

Ответ: 8.