Номер 15, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 15, страница 74.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Функция $y = \frac{k}{x}$ и её график

1. Дана функция $y = \frac{35}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно -7;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 5.

2. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-3; 10)$.

3. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ и запишите координаты точек их пересечения.

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{|x|}$;

2) $y = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ 2-x, & \text{если } x > -1; \end{cases}$

3) $y = \frac{5x - 20}{x^2 - 4x}$.

5. Постройте график уравнения:

1) $(xy + 2)(y - 1) = 0$;

2) $\frac{xy + 2}{y - 1} = 0$.

Решение.

1. Дана функция $y = \frac{35}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно -7;

Чтобы найти значение функции (y) при заданном значении аргумента (x), необходимо подставить значение $x = -7$ в уравнение функции:

$y = \frac{35}{-7} = -5$

Ответ: -5.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 5.

Чтобы найти значение аргумента (x), при котором значение функции $y = 5$, необходимо подставить $y = 5$ в уравнение и решить его относительно $x$:

$5 = \frac{35}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$5x = 35$

$x = \frac{35}{5} = 7$

Ответ: 7.

2. Найдите значение k, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(-3; 10).

Если график функции проходит через точку A(-3; 10), это означает, что при $x = -3$ значение функции $y$ равно 10. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти $k$:

$10 = \frac{k}{-3}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на -3:

$k = 10 \cdot (-3) = -30$

Ответ: -30.

3. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ и запишите координаты точек их пересечения.

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = x - 3$

Предполагая, что $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$4 = x(x - 3)$

$4 = x^2 - 3x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -1.

$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$, подставив их в уравнение прямой $y = x - 3$:

При $x_1 = 4$: $y_1 = 4 - 3 = 1$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = -1 - 3 = -4$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках. График $y=\frac{4}{x}$ является гиперболой, а график $y=x-3$ — прямой.

Ответ: (4; 1) и (-1; -4).

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{|x|}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Так как $|x| \ge 0$, то и $y$ будет всегда положительным.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция имеет вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь стандартной гиперболы в первой четверти.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, симметричная ветви $y=\frac{4}{x}$ относительно оси OY, и расположенная во второй четверти.

Таким образом, график функции $y = \frac{4}{|x|}$ симметричен относительно оси OY.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Одна является графиком $y=4/x$ при $x>0$ (в первой четверти), вторая — ее зеркальным отражением относительно оси OY (во второй четверти).

2) $y = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

а) При $x \le -1$ строим график функции $y = -\frac{3}{x}$. Это часть ветви гиперболы, расположенной во второй координатной четверти. Найдём значение в граничной точке $x = -1$: $y = -\frac{3}{-1} = 3$. Точка (-1; 3) принадлежит этой части графика.

б) При $x > -1$ строим график функции $y = 2 - x$. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Найдём значение в граничной точке $x=-1$ (точка будет выколотой для этой части): $y = 2 - (-1) = 3$. Значит, луч начинается из точки (-1; 3). Возьмём ещё одну точку, например, $x=2$: $y=2-2=0$. Прямая проходит через точки (-1; 3) и (2; 0).

Так как в точке $x = -1$ значения обоих выражений совпадают, график функции является непрерывным.

Ответ: График состоит из части гиперболы $y=-3/x$ для $x \le -1$ и луча $y=2-x$, выходящего из точки (-1; 3) для $x > -1$.

3) $y = \frac{5x - 20}{x^2 - 4x}$

Найдем область определения функции, исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x^2 - 4x = x(x-4) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители:

$y = \frac{5(x - 4)}{x(x - 4)}$

При $x \neq 4$ можно сократить дробь на $(x-4)$:

$y = \frac{5}{x}$

График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = \frac{5}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x=4$. В этой точке исходная функция не определена, поэтому на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты, подставив $x=4$ в упрощенное выражение:

$y = \frac{5}{4} = 1.25$.

Ответ: График функции — гипербола $y = \frac{5}{x}$ с выколотой точкой (4; 1.25).

5. Постройте график уравнения:

1) $(xy + 2)(y - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два:

$xy + 2 = 0$ или $y - 1 = 0$.

а) $xy + 2 = 0 \implies xy = -2 \implies y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях.

б) $y - 1 = 0 \implies y = 1$. Это горизонтальная прямая.

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух функций.

Ответ: График уравнения — это объединение гиперболы $y = -2/x$ и прямой $y = 1$.

2) $\frac{xy + 2}{y - 1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе:

$\begin{cases} xy + 2 = 0 \\ y - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем: $y = -\frac{2}{x}$.

Из второго условия: $y \neq 1$.

Следовательно, график уравнения — это гипербола $y = -\frac{2}{x}$, из которой исключены все точки с ординатой $y=1$. Найдем, какая точка гиперболы имеет такую ординату:

$1 = -\frac{2}{x} \implies x = -2$.

Таким образом, из графика гиперболы $y = -\frac{2}{x}$ необходимо выколоть точку с координатами (-2; 1).

Ответ: График уравнения — гипербола $y = -2/x$ с выколотой точкой (-2; 1).