Номер 22, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Сложение и умножение числовых неравенств.

Оценивание значения выражения

1. Верно ли утверждение:

1) если $a > 2$ и $b > 12$, то $a - b > -10$;

2) если $a > 2$ и $b > 10$, то $ab > 20$;

3) если $a > 2$ и $b > 10$, то $4a + 3b > 37$;

4) если $a < 2$ и $b < 10$, то $ab < 20$;

5) если $a > 2$, то $a^2 > 4$;

6) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$?

2. Дано: $-2 < a < 5$. Оцените значение выражения:

1) $a - 8$;

2) $-3a$;

3) $4a - 5$;

4) $8 - 2a$.

3. Дано: $1 < x < 9$ и $2 < y < 7$. Оцените значение выражения:

1) $xy$;

2) $3x - 4y$;

3) $\frac{14x}{27y}$.

4. Оцените значение $x$, если:

1) $|y| + 6x = 18$;

2) $5|x| + |y| = 15$.

1. Верно ли утверждение:

1) Утверждение неверно. Чтобы оценить разность $a - b$, преобразуем неравенство $b > 12$. Умножим его на $-1$, изменив знак неравенства: $-b < -12$. Теперь у нас есть два неравенства: $a > 2$ и $-b < -12$. Мы не можем их сложить, так как у них разные знаки. Приведем контрпример, чтобы доказать неверность утверждения. Пусть $a = 3$ (что больше 2) и $b = 20$ (что больше 12). Тогда $a - b = 3 - 20 = -17$. Утверждение $a - b > -10$ становится $-17 > -10$, что является ложью. Ответ: неверно.

2) Утверждение верно. Даны неравенства $a > 2$ и $b > 10$. Так как все части этих неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства: $a \cdot b > 2 \cdot 10$, что дает $ab > 20$. Ответ: верно.

3) Утверждение верно. Из $a > 2$ следует, что $4a > 4 \cdot 2$, то есть $4a > 8$. Из $b > 10$ следует, что $3b > 3 \cdot 10$, то есть $3b > 30$. Теперь сложим полученные неравенства одинакового знака: $4a + 3b > 8 + 30$, что дает $4a + 3b > 38$. Поскольку любое число, которое больше 38, также больше 37, то утверждение $4a + 3b > 37$ является верным. Ответ: верно.

4) Утверждение неверно. Правило умножения неравенств применимо только для положительных чисел. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -10$ (что меньше 2) и $b = -5$ (что меньше 10). Тогда их произведение $ab = (-10) \cdot (-5) = 50$. Утверждение $ab < 20$ становится $50 < 20$, что является ложью. Ответ: неверно.

5) Утверждение верно. Из условия $a > 2$ следует, что $a$ — положительное число. Для неравенств с положительными частями можно возводить обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства: $a^2 > 2^2$, что дает $a^2 > 4$. Ответ: верно.

6) Утверждение неверно. Знак неравенства при взятии обратной величины зависит от знаков его частей. Рассмотрим случай, когда $a$ находится в интервале $0 < a < 2$. Например, возьмем $a = 1$. Условие $a < 2$ выполняется. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$. Утверждение $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ становится $1 < \frac{1}{2}$, что является ложью. Следовательно, исходное утверждение неверно. Ответ: неверно.

2. Дано: $-2 < a < 5$. Оцените значение выражения:

1) $a - 8$
Вычтем 8 из всех частей исходного неравенства:
$ -2 - 8 < a - 8 < 5 - 8 $
$ -10 < a - 8 < -3 $
Ответ: $-10 < a - 8 < -3$.

2) $-3a$
Умножим все части исходного неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ -2 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 5 \cdot (-3) $
$ 6 > -3a > -15 $
Запишем в стандартном виде: $ -15 < -3a < 6 $.
Ответ: $-15 < -3a < 6$.

3) $4a - 5$
Сначала умножим исходное неравенство на 4:
$ -2 \cdot 4 < 4a < 5 \cdot 4 $
$ -8 < 4a < 20 $
Теперь вычтем 5 из всех частей:
$ -8 - 5 < 4a - 5 < 20 - 5 $
$ -13 < 4a - 5 < 15 $
Ответ: $-13 < 4a - 5 < 15$.

4) $8 - 2a$
Сначала оценим выражение $-2a$. Умножим исходное неравенство на -2, меняя знаки:
$ -2 \cdot (-2) > -2a > 5 \cdot (-2) $
$ 4 > -2a > -10 $
Или $ -10 < -2a < 4 $.
Теперь прибавим 8 ко всем частям:
$ 8 - 10 < 8 - 2a < 8 + 4 $
$ -2 < 8 - 2a < 12 $
Ответ: $-2 < 8 - 2a < 12$.

3. Дано: $1 < x < 9$ и $2 < y < 7$. Оцените значение выражения:

1) $xy$
Поскольку все части обоих неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить:
$ 1 \cdot 2 < xy < 9 \cdot 7 $
$ 2 < xy < 63 $
Ответ: $2 < xy < 63$.

2) $3x - 4y$
Сначала оценим $3x$ и $-4y$ по отдельности.
Из $1 < x < 9$ следует $3 < 3x < 27$.
Из $2 < y < 7$ следует $2 \cdot (-4) > -4y > 7 \cdot (-4)$, то есть $-8 > -4y > -28$, или $-28 < -4y < -8$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$ 3 + (-28) < 3x + (-4y) < 27 + (-8) $
$ -25 < 3x - 4y < 19 $
Ответ: $-25 < 3x - 4y < 19$.

3) $\frac{14x}{27y}$
Это выражение можно записать как $\frac{14}{27} \cdot \frac{x}{y}$. Оценим сначала дробь $\frac{x}{y}$.
Минимальное значение дроби будет при минимальном числителе и максимальном знаменателе: $\frac{\min(x)}{\max(y)} = \frac{1}{7}$.
Максимальное значение — при максимальном числителе и минимальном знаменателе: $\frac{\max(x)}{\min(y)} = \frac{9}{2}$.
Таким образом, $\frac{1}{7} < \frac{x}{y} < \frac{9}{2}$.
Теперь умножим это неравенство на положительный коэффициент $\frac{14}{27}$:
$ \frac{14}{27} \cdot \frac{1}{7} < \frac{14x}{27y} < \frac{14}{27} \cdot \frac{9}{2} $
Сокращаем дроби:
$ \frac{2}{27} < \frac{14x}{27y} < \frac{7}{3} $
Ответ: $\frac{2}{27} < \frac{14x}{27y} < \frac{7}{3}$.

4. Оцените значение $x$, если:

1) $|y| + 6x = 18$
Выразим $x$ из уравнения:
$ 6x = 18 - |y| $
$ x = \frac{18 - |y|}{6} = 3 - \frac{|y|}{6} $
По определению модуля, $|y| \ge 0$. Следовательно, $\frac{|y|}{6} \ge 0$.
Это означает, что из 3 вычитается неотрицательное число. Таким образом, результат будет не больше 3.
Формально: из $|y| \ge 0$ следует $-\frac{|y|}{6} \le 0$. Прибавив 3 к обеим частям, получим $3 - \frac{|y|}{6} \le 3$, то есть $x \le 3$.
Ответ: $x \le 3$.

2) $5|x| + |y| = 15$
Выразим член с $x$:
$ 5|x| = 15 - |y| $
Поскольку $|y| \ge 0$, то наибольшее значение выражения $15 - |y|$ достигается при $|y|=0$ и равно 15. Таким образом, $15 - |y| \le 15$.
Следовательно, $5|x| \le 15$.
Разделим обе части на 5: $|x| \le 3$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.