Номер 21, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 21, страница 77.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Числовые неравенства и их свойства

1. Сравните числа $k$ и $p$, если:

1) $k = p + 0,3$;

2) $p = k - 5$.

2. Известно, что $x < y$. Сравните:

1) $y - 2$ и $x - 2$;

2) $-12y$ и $-12x$;

3) $\frac{x}{11}$ и $\frac{y}{11}$.

3. Известно, что $x > y$. Сравните:

1) $x + 3$ и $y$;

2) $x$ и $y - 2$;

3) $x + 1$ и $y - 4$;

4) $x - 1$ и $y + 2$.

4. Сравните числа $b$ и $0$, если:

1) $7b > 5b$;

2) $\frac{b}{5} > \frac{b}{9}$;

3) $-3b < 7b$;

4) $-\frac{b}{15} < -\frac{b}{45}$.

5. Дано: $m > 0$ и $n < 0$. Сравните:

1) $m - n$ и $0$;

2) $n - m$ и $-n$;

3) $2m - 5n$ и $n$;

4) $\frac{1}{m - 7n}$ и $\frac{1}{n}$.

6. Известно, что $6 < n < 8$. Докажите, что:

1) $-9 < 7 - 2n < -5$;

2) $\frac{1}{13} < \frac{1}{3n - 11} < \frac{1}{7}$.

Решение.

1. Сравните числа k и p, если:

1) Дано равенство $k = p + 0,3$. Вычтем из обеих частей $p$, чтобы найти разность $k - p$:
$k - p = 0,3$.
Поскольку разность $k - p$ является положительным числом ($0,3 > 0$), то $k$ больше, чем $p$.
Ответ: $k > p$.

2) Дано равенство $p = k - 5$. Выразим разность $k - p$:
$k - p = 5$.
Поскольку разность $k - p$ является положительным числом ($5 > 0$), то $k$ больше, чем $p$.
Ответ: $k > p$.

---

2. Известно, что $x < y$. Сравните:

1) Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем 2 из обеих частей неравенства $x < y$:
$x - 2 < y - 2$.
Ответ: $y - 2 > x - 2$.

2) Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Умножим обе части неравенства $x < y$ на -12:
$-12x > -12y$.
Ответ: $-12y < -12x$.

3) Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части неравенства $x < y$ на 11:
$\frac{x}{11} < \frac{y}{11}$.
Ответ: $\frac{x}{11} < \frac{y}{11}$.

---

3. Известно, что $x > y$. Сравните:

1) Известно, что $x > y$. По свойству неравенств, $x + 3 > y + 3$. Поскольку $y + 3 > y$, то транзитивно получаем, что $x + 3 > y$.
Или через разность: $(x + 3) - y = (x - y) + 3$. Так как $x > y$, то $x - y > 0$. Сумма положительного числа и 3 также положительна. Следовательно, $x + 3 > y$.
Ответ: $x + 3 > y$.

2) Известно, что $x > y$. По свойству неравенств, $x - 2 > y - 2$. Поскольку $x > x - 2$, мы не можем напрямую сравнить $x$ и $y-2$. Найдем их разность: $x - (y - 2) = x - y + 2$. Так как $x > y$, то $x - y > 0$. Сумма положительного числа и 2 также положительна. Следовательно, $x > y - 2$.
Ответ: $x > y - 2$.

3) Найдем разность выражений: $(x + 1) - (y - 4) = x + 1 - y + 4 = (x - y) + 5$.
По условию $x > y$, значит $x - y > 0$. Сумма положительного числа $(x-y)$ и положительного числа 5 всегда будет положительной. Следовательно, $(x + 1) - (y - 4) > 0$, а значит $x + 1 > y - 4$.
Ответ: $x + 1 > y - 4$.

4) Найдем разность выражений: $(x - 1) - (y + 2) = x - 1 - y - 2 = (x - y) - 3$.
По условию $x > y$, значит $x - y > 0$. Однако результат разности $(x - y) - 3$ может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю.
Например, если $x = 5$, $y = 1$, то $x - y = 4$, и разность равна $4 - 3 = 1 > 0$.
Если $x = 3$, $y = 1$, то $x - y = 2$, и разность равна $2 - 3 = -1 < 0$.
Поэтому сравнить выражения однозначно нельзя.
Ответ: Сравнить невозможно.

---

4. Сравните числа b и 0, если:

1) Дано $7b > 5b$. Перенесем $5b$ в левую часть:
$7b - 5b > 0$
$2b > 0$
Разделим обе части на 2 (положительное число, знак не меняется):
$b > 0$.
Ответ: $b > 0$.

2) Дано $\frac{b}{5} > \frac{b}{9}$. Перенесем все в левую часть:
$\frac{b}{5} - \frac{b}{9} > 0$
Приведем к общему знаменателю 45:
$\frac{9b - 5b}{45} > 0$
$\frac{4b}{45} > 0$
Умножим обе части на 45 и разделим на 4 (положительные числа):
$b > 0$.
Ответ: $b > 0$.

3) Дано $-3b < 7b$. Перенесем $-3b$ в правую часть:
$0 < 7b + 3b$
$0 < 10b$
Разделим обе части на 10:
$0 < b$.
Ответ: $b > 0$.

4) Дано $-\frac{b}{15} < -\frac{b}{45}$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{b}{15} > \frac{b}{45}$
Перенесем все в левую часть:
$\frac{b}{15} - \frac{b}{45} > 0$
Приведем к общему знаменателю 45:
$\frac{3b - b}{45} > 0$
$\frac{2b}{45} > 0$
Отсюда следует, что $b > 0$.
Ответ: $b > 0$.

---

5. Дано: $m > 0$ и $n < 0$. Сравните:

1) $m - n$ и $0$.
Поскольку $m$ - положительное число, а $n$ - отрицательное, то $-n$ будет положительным числом. Сумма двух положительных чисел ($m$ и $-n$) всегда положительна.
$m - n = m + (-n) > 0$.
Ответ: $m - n > 0$.

2) $n - m$ и $-n$.
Рассмотрим их разность: $(n - m) - (-n) = n - m + n = 2n - m$.
Поскольку $n < 0$, то $2n < 0$. Поскольку $m > 0$, то $-m < 0$. Сумма двух отрицательных чисел ($2n$ и $-m$) всегда отрицательна.
Следовательно, $(n - m) - (-n) < 0$, а значит $n - m < -n$.
Ответ: $n - m < -n$.

3) $2m - 5n$ и $n$.
Рассмотрим их разность: $(2m - 5n) - n = 2m - 6n$.
Поскольку $m > 0$, то $2m > 0$. Поскольку $n < 0$, то $-6n > 0$. Сумма двух положительных чисел ($2m$ и $-6n$) всегда положительна.
Следовательно, $(2m - 5n) - n > 0$, а значит $2m - 5n > n$.
Ответ: $2m - 5n > n$.

4) $\frac{1}{m - 7n}$ и $\frac{1}{n}$.
Определим знаки выражений. Так как $n < 0$, то $\frac{1}{n} < 0$.
Теперь определим знак знаменателя $m - 7n$. Так как $m > 0$ и $n < 0$, то $-7n > 0$. Знаменатель $m - 7n$ является суммой двух положительных чисел, следовательно, $m - 7n > 0$. Тогда и дробь $\frac{1}{m - 7n}$ будет положительной.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\frac{1}{m - 7n} > \frac{1}{n}$.
Ответ: $\frac{1}{m - 7n} > \frac{1}{n}$.

---

6. Известно, что $6 < n < 8$. Докажите, что:

1) $-9 < 7 - 2n < -5$.
Начнем с исходного неравенства: $6 < n < 8$.
1. Умножим все части на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$6 \cdot (-2) > n \cdot (-2) > 8 \cdot (-2)$
$-12 > -2n > -16$
2. Запишем неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):
$-16 < -2n < -12$
3. Прибавим 7 ко всем частям неравенства:
$-16 + 7 < -2n + 7 < -12 + 7$
$-9 < 7 - 2n < -5$.
Что и требовалось доказать.

2) $\frac{1}{13} < \frac{1}{3n - 11} < \frac{1}{7}$.
Начнем с исходного неравенства: $6 < n < 8$.
1. Умножим все части на 3 (положительное число, знаки не меняются):
$6 \cdot 3 < n \cdot 3 < 8 \cdot 3$
$18 < 3n < 24$
2. Вычтем 11 из всех частей неравенства:
$18 - 11 < 3n - 11 < 24 - 11$
$7 < 3n - 11 < 13$
3. Все части этого неравенства положительны. Согласно свойству, если $0 < a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Возьмем обратные величины от всех частей, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{1}{7} > \frac{1}{3n - 11} > \frac{1}{13}$
4. Запишем неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):
$\frac{1}{13} < \frac{1}{3n - 11} < \frac{1}{7}$.
Что и требовалось доказать.