Номер 25, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 25, страница 79.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1. Решите уравнение:

1) $|x - 7| = 1$; 2) $|5x + 3| = |3x - 2|$; 3) $|x + 3| = 2x + 7$.

2. Решите неравенство:

1) $|3x + 4| > 1$; 2) $|7x - 1| < 2x - 5$.

3. Постройте график функции $y = |x + 3| - |x - 1|$.

4. Решите уравнение $\frac{|x - 6|}{|x - 2| - 4} = 1$.

5. Определите количество корней уравнения $|2x + 1| = a - x$

в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $|x - 7| = 1$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 7 = 1$ или $x - 7 = -1$

Из первого уравнения получаем $x = 1 + 7 = 8$.

Из второго уравнения получаем $x = -1 + 7 = 6$.

Ответ: $6; 8$.

2) $|5x + 3| = |3x - 2|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности уравнений $A = B$ и $A = -B$.

Случай 1: $5x + 3 = 3x - 2$

$5x - 3x = -2 - 3$

$2x = -5$

$x = -2.5$

Случай 2: $5x + 3 = -(3x - 2)$

$5x + 3 = -3x + 2$

$5x + 3x = 2 - 3$

$8x = -1$

$x = -1/8$

Ответ: $-2.5; -1/8$.

3) $|x + 3| = 2x + 7$

Поскольку модуль числа — неотрицательная величина, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является необходимым условием существования решений:

$2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Уравнение принимает вид: $x + 3 = 2x + 7$

$3 - 7 = 2x - x$

$x = -4$

Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge -3$, поэтому является посторонним.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

Уравнение принимает вид: $-(x + 3) = 2x + 7$

$-x - 3 = 2x + 7$

$-10 = 3x$

$x = -10/3$

Этот корень удовлетворяет условиям $x < -3$ (так как $-10/3 \approx -3.33$) и $x \ge -3.5$. Следовательно, это единственное решение.

Ответ: $-10/3$.

2. Решите неравенство:

1) $|3x + 4| > 1$

Неравенство вида $|A| > B$ (при $B>0$) равносильно совокупности неравенств $A > B$ или $A < -B$.

$3x + 4 > 1$ или $3x + 4 < -1$

Решаем первое неравенство: $3x > 1 - 4 \implies 3x > -3 \implies x > -1$.

Решаем второе неравенство: $3x < -1 - 4 \implies 3x < -5 \implies x < -5/3$.

Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -5/3) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -5/3) \cup (-1; +\infty)$.

2) $|7x - 1| < 2x - 5$

Для существования решений необходимо, чтобы правая часть неравенства была положительной, так как модуль всегда неотрицателен:

$2x - 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 2.5$.

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

$-(2x - 5) < 7x - 1 < 2x - 5$

Это эквивалентно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 7x - 1 < 2x - 5 \\ 7x - 1 > -(2x - 5) \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $5x < -4 \implies x < -0.8$.

Решаем второе неравенство: $7x - 1 > -2x + 5 \implies 9x > 6 \implies x > 2/3$.

Теперь необходимо найти пересечение трех условий: $x > 2.5$, $x < -0.8$ и $x > 2/3$.

Таких значений $x$, которые бы удовлетворяли всем трем условиям одновременно, не существует. Пересечение множеств решений пусто.

Ответ: решений нет.

3. Постройте график функции $y = |x + 3| - |x - 1|$

Для построения графика раскроем модули на различных промежутках. Нули подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 1$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x \le -3$: $y = -(x+3) - (-(x-1)) = -x - 3 + x - 1 = -4$.

2. При $-3 < x \le 1$: $y = (x+3) - (-(x-1)) = x + 3 + x - 1 = 2x + 2$.

3. При $x > 1$: $y = (x+3) - (x-1) = x + 3 - x + 1 = 4$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} -4, & \text{если } x \le -3 \\ 2x+2, & \text{если } -3 < x \le 1 \\ 4, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График состоит из трех частей: горизонтального луча $y = -4$ при $x \in (-\infty, -3]$; отрезка прямой $y = 2x+2$, соединяющего точки $(-3, -4)$ и $(1, 4)$; и горизонтального луча $y = 4$ при $x \in (1, +\infty)$.

Ответ: График представляет собой кусочно-линейную функцию, состоящую из луча $y=-4$ на $(-\infty, -3]$, отрезка $y=2x+2$ на $[-3, 1]$ и луча $y=4$ на $[1, +\infty)$.

4. Решите уравнение $\frac{|x - 6|}{|x - 2| - 4} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$|x - 2| - 4 \ne 0 \implies |x - 2| \ne 4$.

Это означает, что $x - 2 \ne 4$ (т.е. $x \ne 6$) и $x - 2 \ne -4$ (т.е. $x \ne -2$).

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 6\}$.

Преобразуем уравнение:

$|x - 6| = |x - 2| - 4$

$|x - 6| - |x - 2| = -4$

Раскроем модули на интервалах, определенных точками $x=2$ и $x=6$.

1. При $x < 2$: $-(x-6) - (-(x-2)) = -4 \implies -x+6+x-2 = -4 \implies 4 = -4$. Ложное равенство, решений нет.

2. При $2 \le x < 6$: $-(x-6) - (x-2) = -4 \implies -x+6-x+2 = -4 \implies -2x + 8 = -4 \implies -2x = -12 \implies x = 6$. Это значение не входит в рассматриваемый интервал.

3. При $x > 6$: $(x-6) - (x-2) = -4 \implies x-6-x+2 = -4 \implies -4 = -4$. Верное равенство. Это означает, что все значения $x$ из этого интервала являются решениями.

Интервал $x > 6$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(6; +\infty)$.

5. Определите количество корней уравнения $|2x + 1| = a - x$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решим задачу графически. Построим графики функций $y = |2x + 1|$ и $y = a - x$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

График $y = |2x + 1|$ — это "галочка" с вершиной в точке $x = -1/2$. Вершина находится в точке $(-1/2, 0)$. Ветви направлены вверх. При $x > -1/2$ это прямая $y = 2x+1$, а при $x < -1/2$ — прямая $y = -2x-1$.

График $y = a - x$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Oy$.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

1. Прямая $y = a - x$ не имеет общих точек с графиком $y = |2x + 1|$, если она проходит ниже вершины "галочки". Вершина находится в точке $(-1/2, 0)$. Найдем значение $a$, при котором прямая проходит через эту точку: $0 = a - (-1/2) \implies a = -1/2$. Если прямая будет ниже, то $a < -1/2$. Следовательно, при $a < -1/2$ корней нет.

2. Прямая имеет одну общую точку с графиком, если она проходит через вершину $(-1/2, 0)$. Это происходит при $a = -1/2$. Следовательно, при $a = -1/2$ один корень.

3. Прямая имеет две общие точки с графиком, если она проходит выше вершины. Это происходит при $a > -1/2$. Прямая будет пересекать обе ветви "галочки". Следовательно, при $a > -1/2$ два корня.

Ответ: при $a < -1/2$ корней нет; при $a = -1/2$ один корень; при $a > -1/2$ два корня.