Номер 32, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 32, страница 83.
№32 (с. 83)
Условие. №32 (с. 83)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 32
Функция $y = \sqrt{x}$ и её график
1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 3$ и определите координаты точки их пересечения.
2. Решите неравенство:
1) $\sqrt{3x + 2} < 1$;
2) $\sqrt{4x - 1} < \sqrt{x + 5}$.
3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 2) = 0$.
4. Решите уравнение $\sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x - 3}} - \sqrt{x - 2 - 2\sqrt{x - 3}} = 3$.
Решение. №32 (с. 83)
1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 3$ и определите координаты точки их пересечения.
Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.
Для функции $y = \sqrt{x}$ (график - ветвь параболы):
$x$ | 0 | 1 | 4 | 9 |
$y$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
Область определения этой функции: $x \ge 0$.
Для функции $y = 4x - 3$ (график - прямая линия):
$x$ | 0 | 1 |
$y$ | -3 | 1 |
Построив эти графики в одной системе координат, мы можем увидеть, что они пересекаются в одной точке.
Чтобы найти координаты точки пересечения аналитически, приравняем правые части уравнений:
$\sqrt{x} = 4x - 3$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, $x \ge 0$. Во-вторых, так как $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $4x - 3 \ge 0$, откуда $4x \ge 3$, то есть $x \ge \frac{3}{4}$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (4x - 3)^2$
$x = 16x^2 - 24x + 9$
$16x^2 - 25x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49 = 7^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{3}{4}$.
Сравним корень $x_2 = \frac{9}{16}$ с $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$. Так как $\frac{9}{16} < \frac{12}{16}$, корень $x_2$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Итак, абсцисса точки пересечения $x = 1$. Найдем ординату, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений:
$y = \sqrt{1} = 1$
Координаты точки пересечения: $(1; 1)$.
Ответ: Координаты точки пересечения $(1; 1)$.
2. Решите неравенство:
1) $\sqrt{3x + 2} < 1$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$3x + 2 \ge 0$
$3x \ge -2$
$x \ge -\frac{2}{3}$
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{3x + 2})^2 < 1^2$
$3x + 2 < 1$
$3x < 1 - 2$
$3x < -1$
$x < -\frac{1}{3}$
Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -\frac{2}{3}$ и $x < -\frac{1}{3}$.
Это соответствует интервалу $[-\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.
Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.
2) $\sqrt{4x - 1} < \sqrt{x + 5}$
Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 4x - 1 \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x \ge 1 \\ x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x \ge -5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{4}$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{4x - 1})^2 < (\sqrt{x + 5})^2$
$4x - 1 < x + 5$
$4x - x < 5 + 1$
$3x < 6$
$x < 2$
Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Мы ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям: $x \ge \frac{1}{4}$ и $x < 2$.
Это соответствует интервалу $[\frac{1}{4}; 2)$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; 2)$.
3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$y - \sqrt{x} = 0$ или $y - 2 = 0$.
Это означает, что график исходного уравнения представляет собой объединение графиков двух уравнений:
1. $y = \sqrt{x}$
2. $y = 2$
Из-за наличия $\sqrt{x}$ в исходном уравнении, его область определения $x \ge 0$.
Следовательно, нам нужно построить:
1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т.д.
2. График уравнения $y=2$ при условии $x \ge 0$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся в точке (0, 2) и идущий вправо.
Итоговый график состоит из этих двух частей.
Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = \sqrt{x}$ и луча $y = 2$, где $x \ge 0$.
4. Решите уравнение $\sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x - 3}} - \sqrt{x - 2 - 2\sqrt{x - 3}} = 3$.
Найдем ОДЗ. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.
Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Для этого сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x - 3}$. Тогда $t^2 = x - 3$, и $x = t^2 + 3$. Условие $x \ge 3$ означает, что $t \ge 0$.
Преобразуем первое подкоренное выражение:
$x + 1 + 4\sqrt{x - 3} = (t^2 + 3) + 1 + 4t = t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2$.
Преобразуем второе подкоренное выражение:
$x - 2 - 2\sqrt{x - 3} = (t^2 + 3) - 2 - 2t = t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$.
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$\sqrt{(t + 2)^2} - \sqrt{(t - 1)^2} = 3$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|t + 2| - |t - 1| = 3$
Так как по условию $t \ge 0$, то $t + 2$ всегда положительно, следовательно $|t + 2| = t + 2$.
$t + 2 - |t - 1| = 3$
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.
Случай 1: $0 \le t < 1$. В этом случае $t-1 < 0$, и $|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t$.
$t + 2 - (1 - t) = 3$
$t + 2 - 1 + t = 3$
$2t + 1 = 3$
$2t = 2 \Rightarrow t = 1$.
Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $0 \le t < 1$, значит, в этом случае решений нет.
Случай 2: $t \ge 1$. В этом случае $t-1 \ge 0$, и $|t - 1| = t - 1$.
$t + 2 - (t - 1) = 3$
$t + 2 - t + 1 = 3$
$3 = 3$.
Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из этого промежутка, то есть для всех $t \ge 1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Мы получили решение $t \ge 1$.
$\sqrt{x - 3} \ge 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 3 \ge 1^2$
$x - 3 \ge 1$
$x \ge 4$
Полученное решение $x \ge 4$ удовлетворяет исходной ОДЗ ($x \ge 3$).
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 32 расположенного на странице 83 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №32 (с. 83), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.