Номер 32, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 32, страница 83.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Функция $y = \sqrt{x}$ и её график

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 3$ и определите координаты точки их пересечения.

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x + 2} < 1$;

2) $\sqrt{4x - 1} < \sqrt{x + 5}$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 2) = 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x - 3}} - \sqrt{x - 2 - 2\sqrt{x - 3}} = 3$.

Решение.

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 3$ и определите координаты точки их пересечения.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

Для функции $y = \sqrt{x}$ (график - ветвь параболы):

$x$	0	1	4	9
$y$	0	1	2	3

Область определения этой функции: $x \ge 0$.

Для функции $y = 4x - 3$ (график - прямая линия):

$x$	0	1
$y$	-3	1

Построив эти графики в одной системе координат, мы можем увидеть, что они пересекаются в одной точке.

Чтобы найти координаты точки пересечения аналитически, приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = 4x - 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, $x \ge 0$. Во-вторых, так как $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $4x - 3 \ge 0$, откуда $4x \ge 3$, то есть $x \ge \frac{3}{4}$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (4x - 3)^2$

$x = 16x^2 - 24x + 9$

$16x^2 - 25x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{3}{4}$.

Сравним корень $x_2 = \frac{9}{16}$ с $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$. Так как $\frac{9}{16} < \frac{12}{16}$, корень $x_2$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Итак, абсцисса точки пересечения $x = 1$. Найдем ординату, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений:

$y = \sqrt{1} = 1$

Координаты точки пересечения: $(1; 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(1; 1)$.

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x + 2} < 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$3x + 2 \ge 0$

$3x \ge -2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{3x + 2})^2 < 1^2$

$3x + 2 < 1$

$3x < 1 - 2$

$3x < -1$

$x < -\frac{1}{3}$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -\frac{2}{3}$ и $x < -\frac{1}{3}$.

Это соответствует интервалу $[-\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

2) $\sqrt{4x - 1} < \sqrt{x + 5}$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x - 1 \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x \ge 1 \\ x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x \ge -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{4}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{4x - 1})^2 < (\sqrt{x + 5})^2$

$4x - 1 < x + 5$

$4x - x < 5 + 1$

$3x < 6$

$x < 2$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Мы ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям: $x \ge \frac{1}{4}$ и $x < 2$.

Это соответствует интервалу $[\frac{1}{4}; 2)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; 2)$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 2) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y - \sqrt{x} = 0$ или $y - 2 = 0$.

Это означает, что график исходного уравнения представляет собой объединение графиков двух уравнений:

1. $y = \sqrt{x}$

2. $y = 2$

Из-за наличия $\sqrt{x}$ в исходном уравнении, его область определения $x \ge 0$.

Следовательно, нам нужно построить:

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т.д.

2. График уравнения $y=2$ при условии $x \ge 0$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся в точке (0, 2) и идущий вправо.

Итоговый график состоит из этих двух частей.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = \sqrt{x}$ и луча $y = 2$, где $x \ge 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x - 3}} - \sqrt{x - 2 - 2\sqrt{x - 3}} = 3$.

Найдем ОДЗ. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.

Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Для этого сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x - 3}$. Тогда $t^2 = x - 3$, и $x = t^2 + 3$. Условие $x \ge 3$ означает, что $t \ge 0$.

Преобразуем первое подкоренное выражение:

$x + 1 + 4\sqrt{x - 3} = (t^2 + 3) + 1 + 4t = t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2$.

Преобразуем второе подкоренное выражение:

$x - 2 - 2\sqrt{x - 3} = (t^2 + 3) - 2 - 2t = t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\sqrt{(t + 2)^2} - \sqrt{(t - 1)^2} = 3$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|t + 2| - |t - 1| = 3$

Так как по условию $t \ge 0$, то $t + 2$ всегда положительно, следовательно $|t + 2| = t + 2$.

$t + 2 - |t - 1| = 3$

Теперь рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.

Случай 1: $0 \le t < 1$. В этом случае $t-1 < 0$, и $|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t$.

$t + 2 - (1 - t) = 3$

$t + 2 - 1 + t = 3$

$2t + 1 = 3$

$2t = 2 \Rightarrow t = 1$.

Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $0 \le t < 1$, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $t \ge 1$. В этом случае $t-1 \ge 0$, и $|t - 1| = t - 1$.

$t + 2 - (t - 1) = 3$

$t + 2 - t + 1 = 3$

$3 = 3$.

Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из этого промежутка, то есть для всех $t \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Мы получили решение $t \ge 1$.

$\sqrt{x - 3} \ge 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 3 \ge 1^2$

$x - 3 \ge 1$

$x \ge 4$

Полученное решение $x \ge 4$ удовлетворяет исходной ОДЗ ($x \ge 3$).

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.